Задача 1
Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.
Решение
Даны: \(BC = a\), \(\angle B - \angle C = \delta\) (\(\delta \ge 0\)), \(AB + AC = s\). Построить \(\triangle ABC\).
Анализ. На продолжении \(CA\) за точку \(A\) отложим \(AA_1 = AB\). Тогда \(CA_1 = AC + AB = s\). Треугольник \(ABA_1\) равнобедренный, \(\angle BAC\) — его внешний угол, поэтому \(\angle ABA_1 = \dfrac{\angle A}{2}\). Найдём угол \(CBA_1\):
Построение.
- Отрезок \(BC = a\). При \(B\) строим угол \(90^\circ + \dfrac{\delta}{2}\) (прямой угол плюс половина угла \(\delta\), полученная биссектрисой).
- Окружность с центром \(C\) радиуса \(s\) пересекает вторую сторону угла в точке \(A_1\).
- Серединный перпендикуляр к \(BA_1\) пересекает отрезок \(CA_1\) в точке \(A\). \(\triangle ABC\) — искомый.
Доказательство. \(AB = AA_1\), поэтому \(AB + AC = CA_1 = s\). Пусть \(\angle ABA_1 = \angle AA_1B = x\). Тогда \(\angle A = 2x\) (внешний угол), \(\angle B = 90^\circ + \dfrac{\delta}{2} - x\), \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 90^\circ - \dfrac{\delta}{2} - x\), и \(\angle B - \angle C = \delta\).
Исследование. Нужно \(s > a\) (неравенство треугольника) и \(\delta < 180^\circ\). Тогда точка \(B\) внутри окружности радиуса \(s\), и луч из \(B\) пересекает окружность ровно в одной точке \(A_1\). Угол \(CBA_1\) не острый, поэтому он больше острого угла \(A_1\) треугольника \(CBA_1\), и точка \(A\) лежит внутри отрезка \(CA_1\). Решение единственное; при \(s \le a\) решений нет.
Ответ
Отложив AB на продолжении стороны CA, получаем треугольник CBA₁ с известными сторонами a, s и углом 90° + δ/2, из которого находится вершина A.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».