Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 453

Условие (кратко)

Две равные окружности с центрами O₁ и O₂ имеют одну общую точку (касаются). Прямая m касается их в точках A и B. Докажите, что AB = O₁O₂.

Решение

Дано: окружности с центрами $$O_1$$ , $$O_2$$ радиуса $$R$$ имеют одну общую точку; $$m$$ касается первой в $$A$$ , второй в $$B$$ . Доказать: $$AB = O_1O_2$$ .

Окружности лежат по одну сторону от $$m$$ . Если бы по разные, их единственной общей точкой могла быть только точка прямой $$m$$ , то есть $$A = B$$ , и отрезка $$AB$$ не было бы.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O_1A \perp m$ , $O_2B \perp m$ , $$O_1A = O_2B = R$$ .
$O_1O_2 \parallel m$ . Проведём через $$O_1$$ прямую $l \parallel m$ . Перпендикуляр $$BO_2$$ к $$m$$ пересекает $$l$$ в точке $$X$$ , и $$BX = O_1A = R$$ (точки параллельных прямых равноудалены). На луче $$BO_2$$ есть только одна точка на расстоянии $$R$$ от $$B$$ , значит, $$X = O_2$$ , и $O_2 \in l$ .
Тогда $O_1O_2 \perp O_2B$ . Прямоугольные треугольники $$O_1AB$$ (прямой угол $$A$$ ) и $$BO_2O_1$$ (прямой угол $$O_2$$ ) имеют общую гипотенузу $$O_1B$$ и равные катеты $$O_1A = BO_2$$ , значит, они равны, и $$AB = O_2O_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано, AB = O₁O₂

Почему так

Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, поэтому центры лежат на прямой, параллельной m, и прямоугольные треугольники O₁AB и BO₂O₁ равны.

Подробнее — в теме «Касательная к окружности».

Задание 453

Задача 1