Задание 454

Дано: окружности с центрами \(O_1\), \(O_2\), радиусы \(R \ge r\), общих точек нет, \(d = O_1O_2\). Значит, либо \(d > R + r\) (окружности вне друг друга), либо \(d < R - r\) (одна внутри другой).

Вспомогательный факт. Пусть \(P\) — середина \(O_1O_2\). Точка \(K\) лежит на окружности с центром \(P\) радиуса \(\dfrac{d}{2}\) ровно тогда, когда \(\angle O_1KO_2 = 90^\circ\) (медиана, равная половине стороны, — признак прямого угла, задача 427).

Внешние касательные (окружности по одну сторону), \(R > r\).

1. Строим окружность \(\omega_1\) с центром \(O_1\) радиуса \(R - r\) и окружность \(\omega\) с центром \(P\) радиуса \(\dfrac{d}{2}\); их общая точка — \(K\).
2. Луч \(O_1K\) пересекает первую окружность в точке \(A\); через \(A\) проводим прямую \(m \perp O_1A\). Доказательство: \(m\) касается первой окружности (перпендикуляр к радиусу в его конце). \(O_2K \perp O_1K\) и \(m \perp O_1K\), значит, \(O_2K \parallel m\), и расстояние от \(O_2\) до \(m\) равно расстоянию от \(K\) до \(m\), то есть \(KA = R - (R - r) = r\). Значит, \(m\) касается и второй окружности. При \(R = r\) внешние касательные параллельны \(O_1O_2\): восставляем в \(O_1\) перпендикуляр к \(O_1O_2\), отмечаем на нём точки на расстоянии \(R\) и проводим через них прямые, перпендикулярные этому перпендикуляру.

Внутренние касательные (окружности по разные стороны). То же с окружностью \(\omega_2\) радиуса \(R + r\): \(K\) — её общая точка с \(\omega\), \(A\) — точка пересечения отрезка \(O_1K\) с первой окружностью (\(AK = r\)), \(m \perp O_1A\) в точке \(A\); расстояние от \(O_2\) до \(m\) снова \(KA = r\).

Исследование. Окружность радиуса \(\rho\) с центром \(O_1\) пересекает \(\omega\) в двух точках, когда \(0 < \rho < d\).

• \(d > R + r\): \(R - r < d\) и \(R + r < d\) — по две точки \(K\), то есть 2 внешние и 2 внутренние касательные, всего 4.
• \(d < R - r\): обе вспомогательные окружности не пересекают \(\omega\); и действительно, прямая, касающаяся внутренней окружности, пересекает внешнюю, — общих касательных нет.