Задача 1
Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.
Решение
Дано: прямые \(a \parallel b\), точка \(M\). Построить окружность через \(M\), касающуюся \(a\) и \(b\).
Анализ. Центр \(O\) равноудалён от \(a\) и \(b\), а радиус равен расстоянию от \(O\) до каждой из них. Пусть \(PQ\) — общий перпендикуляр (\(P \in a\), \(Q \in b\)), \(N\) — его середина. Тогда радиус \(\rho = \dfrac{PQ}{2}\), а \(O\) лежит на прямой \(c\), проходящей через \(N\) перпендикулярно \(PQ\) (она параллельна \(a\) и \(b\), и все её точки удалены от них на \(\rho\)). Кроме того, \(OM = \rho\).
Построение.
- Из точки \(P\) прямой \(a\) опускаем перпендикуляр \(PQ\) на \(b\), находим середину \(N\).
- Через \(N\) проводим прямую \(c \perp PQ\).
- Окружность с центром \(M\) радиуса \(\rho = NP\) пересекает \(c\) в точке \(O\).
- Окружность с центром \(O\) радиуса \(\rho\) — искомая.
Доказательство. \(OM = \rho\) — окружность проходит через \(M\). Расстояние от \(O\) до \(a\) и до \(b\) равно \(\rho\) (точки параллельных прямых \(c\) и \(a\) равноудалены), значит, \(a\) и \(b\) — касательные.
Исследование. Расстояние от \(M\) до \(c\) сравниваем с \(\rho\).
- \(M\) строго между \(a\) и \(b\) — расстояние меньше \(\rho\), две точки \(O\), два решения;
- \(M\) на \(a\) или на \(b\) — расстояние равно \(\rho\), одно решение;
- \(M\) вне полосы между прямыми — решений нет.
Ответ
Центр лежит на средней линии полосы, а радиус равен половине расстояния между прямыми, поэтому центр — пересечение этой линии с окружностью вокруг данной точки.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».