Задача 1
Даны прямая m, точка A на ней и точка B вне её. Постройте окружность, проходящую через B и касающуюся прямой m в точке A.
Решение
Дано: прямая \(m\), \(A \in m\), \(B \notin m\). Построить окружность, касающуюся \(m\) в точке \(A\) и проходящую через \(B\).
Анализ. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому центр \(O\) лежит на перпендикуляре \(p\) к \(m\) в точке \(A\). Кроме того, \(OA = OB\), значит, \(O\) лежит на серединном перпендикуляре \(q\) к \(AB\).
Построение.
- Восставляем в точке \(A\) перпендикуляр \(p\) к \(m\).
- Строим серединный перпендикуляр \(q\) к \(AB\).
- \(O = p \cap q\); окружность с центром \(O\) радиуса \(OA\) — искомая.
Доказательство. \(OA = OB\) — окружность проходит через \(A\) и \(B\). Прямая \(m\) проходит через конец радиуса \(OA\) перпендикулярно ему, значит, это касательная в точке \(A\).
Исследование. Прямые \(p\) и \(q\) были бы параллельны, только если \(m \parallel AB\), но \(AB\) пересекает \(m\) в точке \(A\). Значит, \(O\) существует и единственна; \(O \ne A\), так как \(A\) не лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\). Задача всегда имеет одно решение.
Ответ
Центр лежит на перпендикуляре к касательной в точке касания и на серединном перпендикуляре к хорде AB.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».