Задание 457

Дано: окружность с центром \(C\) радиуса \(r\), прямая \(m\), \(A \in m\). Построить окружность, касающуюся \(m\) в \(A\) и данной окружности.

Анализ. Центр \(O\) искомой окружности лежит на перпендикуляре \(p\) к \(m\) в точке \(A\), её радиус \(\rho = OA\). Две окружности касаются, когда расстояние между центрами равно сумме или разности радиусов: \(OC = \rho + r\) или \(OC = |\rho - r|\). Отметим на \(p\) точки \(A_1\) и \(A_2\) по разные стороны от \(m\) на расстоянии \(r\) от \(A\) и проведём через них прямые \(m_1\), \(m_2\), параллельные \(m\). Для точки \(O\) на \(p\) одно из расстояний \(OA_1\), \(OA_2\) равно \(\rho + r\), другое — \(|\rho - r|\). Поэтому условие касания — это \(OC = OA_1\) или \(OC = OA_2\): центр \(O\) — центр окружности, которая проходит через \(C\) и касается \(m_i\) в точке \(A_i\) (задача 456).

Построение (для \(i = 1\) и \(i = 2\)).

1. Строим серединный перпендикуляр к \(CA_i\); он пересекает \(p\) в точке \(O_i\).
2. Окружность с центром \(O_i\) радиуса \(O_iA\) — искомая.

Доказательство. \(O_iA \perp m\) — окружность касается \(m\) в \(A\). \(O_iC = O_iA_i = O_iA \pm r\), то есть расстояние между центрами равно сумме или разности радиусов — окружности касаются.

Исследование.

• \(A\) не на данной окружности и окружность не касается \(m\) — два решения (\(i = 1, 2\)).
• Данная окружность касается \(m\) в точке \(T \ne A\) — тогда \(C\) лежит на одной из прямых \(m_i\), серединный перпендикуляр к \(CA_i\) параллелен \(p\), остаётся одно решение.
• \(A\) лежит на данной окружности, но она не касается \(m\) в \(A\) — у окружностей общая точка \(A\) с разными касательными, касания нет: решений нет.
• Данная окружность касается \(m\) в \(A\) — подходит любая окружность, касающаяся \(m\) в \(A\): решений бесконечно много.