Задача 1
Даны неразвёрнутый угол и точка на одной из его сторон. Постройте окружность, вписанную в угол и касающуюся его стороны в данной точке.
Решение
Дано: угол \(XOY\), \(\angle XOY < 180^\circ\), точка \(A\) на луче \(OX\), \(A \ne O\). Построить окружность, касающуюся \(OX\) в \(A\) и \(OY\).
Анализ. Центр \(Q\) равноудалён от сторон угла, значит, лежит на его биссектрисе; радиус \(QA \perp OX\), значит, \(Q\) лежит на перпендикуляре к \(OX\) в точке \(A\).
Построение.
- Строим биссектрису \(l\) угла \(XOY\).
- Восставляем в точке \(A\) перпендикуляр к \(OX\) внутрь угла; он пересекает \(l\) в точке \(Q\).
- Окружность с центром \(Q\) радиуса \(QA\) — искомая.
Доказательство. \(OX\) перпендикулярна радиусу \(QA\) в его конце — касательная. Точка \(Q\) на биссектрисе, поэтому расстояние от \(Q\) до \(OY\) равно \(QA\), то есть \(OY\) тоже касается окружности. Точка касания \(B\) — основание перпендикуляра из \(Q\) на \(OY\); прямоугольные треугольники \(OAQ\) и \(OBQ\) равны (гипотенуза \(OQ\) общая, острые углы при \(O\) равны), поэтому \(OB = OA\) и \(B\) лежит на стороне угла.
Исследование. Перпендикуляр и биссектриса пересекаются, так как сумма углов \(\dfrac{\angle XOY}{2} + 90^\circ < 180^\circ\) (угол неразвёрнутый). Точка \(Q\) единственная — решение одно.
Ответ
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла и на перпендикуляре к стороне в точке касания.
Подробнее — в теме «Свойство биссектрисы угла».