Задача 1
Дан прямоугольный треугольник. Постройте окружность с центром на одном из катетов, которая касается гипотенузы и проходит через вершину прямого угла.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Построить окружность с центром \(O\) на катете \(AC\), проходящую через \(C\) и касающуюся гипотенузы \(AB\).
Анализ. Радиус \(OC\) перпендикулярен \(BC\), поэтому \(OC\) — расстояние от \(O\) до прямой \(BC\), и окружность касается \(BC\) в точке \(C\). Окружность касается \(AB\), значит, расстояние от \(O\) до \(AB\) тоже равно \(OC\). Точка \(O\) внутри угла \(B\) равноудалена от его сторон — она лежит на биссектрисе угла \(B\).
Построение.
- Строим биссектрису угла \(B\); она пересекает катет \(AC\) в точке \(O\).
- Окружность с центром \(O\) радиуса \(OC\) — искомая.
Доказательство. \(O\) на биссектрисе угла \(B\), поэтому расстояние от \(O\) до \(AB\) равно расстоянию до \(BC\), то есть \(OC\). Значит, прямая \(AB\) касается окружности; точка касания — основание перпендикуляра из \(O\) на \(AB\) — лежит на гипотенузе, так как углы \(A\) и \(B\) острые. Окружность проходит через \(C\).
Исследование. Биссектриса угла треугольника всегда пересекает противоположную сторону — для выбранного катета решение одно. Для другого катета (\(BC\)) центр — точка пересечения \(BC\) с биссектрисой угла \(A\).
Ответ
Центр равноудалён от гипотенузы и второго катета, поэтому лежит на биссектрисе острого угла между ними.
Подробнее — в теме «Свойство биссектрисы угла».