Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 461

Условие (кратко)

Даны окружность, её внутренняя точка A и отрезок PQ. Постройте хорду KM, проходящую через A, так, что AK − AM = PQ.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ , точка $$A$$ внутри неё, отрезок $$PQ$$ . Построить хорду $$KM$$ через $$A$$ , $$AK - AM = PQ$$ .

Анализ. Пусть хорда построена, $$N$$ — середина $$KM$$ (основание перпендикуляра из $$O$$ : диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам). Отметим на хорде точку $$X$$ , симметричную $$A$$ относительно $$N$$ . Тогда $$KX = AM$$ , $$AX = AK - KX = AK - AM = PQ$$ . Треугольник $$OAX$$ равнобедренный ( $$ON$$ — его высота и медиана), $$OX = OA$$ . Значит, $$X$$ лежит на окружности с центром $$O$$ радиуса $$OA$$ и на окружности с центром $$A$$ радиуса $$PQ$$ .

Построение.

Строим окружности с центром $$O$$ радиуса $$OA$$ и с центром $$A$$ радиуса $$PQ$$ ; $$X$$ — их общая точка.
Прямая $$AX$$ пересекает данную окружность в точках $$K$$ (со стороны $$X$$ ) и $$M$$ .

Доказательство. Опустим $ON \perp KM$ . $$N$$ — середина $$KM$$ ; $$OA = OX$$ , поэтому $$N$$ — середина $$AX$$ (высота равнобедренного треугольника $$OAX$$ — медиана). Отсюда $$KX = NK - NX = NM - NA = AM$$ и $$AK - AM = AK - KX = AX = PQ$$ .

Исследование. Окружности радиусов $$OA$$ и $$PQ$$ с расстоянием между центрами $$OA$$ имеют общие точки, если $PQ \le 2OA$ .

$$PQ < 2OA$$ — две точки $$X$$ , симметричные относительно $$OA$$ , — две хорды;
$$PQ = 2OA$$ — одна точка $$X$$ на прямой $$OA$$ , хорда — диаметр через $$A$$ ;
$$PQ > 2OA$$ (в частности, если $$A = O$$ ) — решений нет.

Ответ

Две хорды при PQ < 2·OA, одна (диаметр через A) при PQ = 2·OA, ни одной при PQ > 2·OA

Почему так

Точка X, симметричная A относительно середины хорды, удалена от центра на OA и от A на PQ — её находят пересечением двух окружностей.

Подробнее — в теме «Диаметры и хорды окружности».

Задание 461

Задача 1