Задача 1
Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, не все его углы равны. Доказать: хотя бы один угол тупой.
Докажем методом от противного. Пусть тупых углов нет, то есть каждый угол не больше \(90^\circ\).
-
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\).
-
Если каждый из четырёх углов не больше \(90^\circ\), то их сумма не больше \(4 \cdot 90^\circ = 360^\circ\), причём равенство возможно, только когда каждый угол равен ровно \(90^\circ\).
-
Сумма равна именно \(360^\circ\), значит, все углы равны \(90^\circ\) — то есть равны друг другу. Это противоречит условию.
Значит, хотя бы один угол больше \(90^\circ\), то есть тупой.
Ответ
Если бы все углы были не больше 90°, то при сумме 360° каждый был бы ровно 90°, и все углы оказались бы равны.
Подробнее — в теме «Многоугольники. Четырёхугольник».