Коротко о главном
Многоугольник выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его сторону. Сумма углов выпуклого n-угольника равна \((n - 2) \cdot 180^\circ\), сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) — \(360^\circ\), число диагоналей — \(\dfrac{n(n-3)}{2}\). У четырёхугольника сумма углов \(360^\circ\).
Подробное объяснение
Посмотрите на плитку на полу, на знак «Стоп», на соты. Это многоугольники. Треугольник мы изучили подробно, теперь научимся считать углы и диагонали у фигур с любым числом вершин.
Вершины, стороны, диагонали
Многоугольник с \(n\) вершинами называют n-угольником, сторон у него тоже \(n\). Две вершины, которые являются концами одной стороны, называют соседними. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, — диагональ. У треугольника диагоналей нет: все три вершины попарно соседние. У четырёхугольника их две.
Выпуклый многоугольник
Проведите прямую через любую сторону многоугольника. Если весь многоугольник оказался по одну сторону от этой прямой — и так для каждой стороны, — многоугольник выпуклый. Если хоть одна прямая «режет» фигуру, она невыпуклая: у неё есть вершина, «вдавленная» внутрь, как у наконечника стрелы.
Сумма углов
Возьмём выпуклый n-угольник и из одной вершины проведём все диагонали. Они разрежут его на \(n - 2\) треугольника: каждая сторона, кроме двух, выходящих из выбранной вершины, станет стороной ровно одного треугольника. Углы треугольников вместе составляют как раз углы многоугольника, а у каждого треугольника сумма углов \(180^\circ\). Поэтому
Для четырёхугольника (\(n = 4\)) получаем \(360^\circ\), для пятиугольника — \(540^\circ\), для шестиугольника — \(720^\circ\).
Внешние углы
Внешний угол — угол, смежный с углом многоугольника. При вершине с углом \(\alpha\) внешний угол равен \(180^\circ - \alpha\). Возьмём при каждой вершине по одному внешнему углу и сложим:
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника всегда \(360^\circ\) — сколько бы ни было сторон. Наглядно: обходя многоугольник по контуру, вы на каждой вершине поворачиваете на внешний угол и в конце делаете ровно один полный оборот.
Число диагоналей
Из одной вершины нельзя провести диагональ в саму себя и в две соседние, поэтому из неё выходит \(n - 3\) диагонали. Из всех вершин — \(n(n - 3)\), но каждая диагональ посчитана дважды, с обоих концов. Итого \(\dfrac{n(n-3)}{2}\).
Четырёхугольник
У четырёхугольника четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Стороны без общей вершины называют противоположными, несоседние вершины — тоже противоположными. У выпуклого четырёхугольника каждая диагональ делит его на два треугольника, у невыпуклого — только одна из диагоналей. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\).
Как решать задачи
- Определите число вершин \(n\).
- Сумма углов — \((n - 2) \cdot 180^\circ\); для четырёхугольника сразу \(360^\circ\).
- Если все углы равны, удобнее идти через внешний угол: \(180^\circ - \alpha\), а число вершин \(n = 360^\circ : (180^\circ - \alpha)\).
- Если углы или стороны заданы отношением или «больше на…», обозначьте одну часть через \(x\), составьте уравнение по сумме углов или по периметру.
- Проверьте: сумма найденных углов совпадает с формулой, все углы меньше \(180^\circ\).
Разобранные примеры
Углы восьмиугольника
Все углы выпуклого восьмиугольника равны. Найдите сумму его углов и величину каждого угла.
- выпуклый восьмиугольник
- все углы равны
- сумму углов и каждый угол
Сумма углов: \((8 - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ\).
Каждый угол: \(1080^\circ : 8 = 135^\circ\).
Проверка через внешние углы: \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\), \(8 \cdot 45^\circ = 360^\circ\) — верно.
Углы четырёхугольника по отношению
Углы выпуклого четырёхугольника относятся как 1 : 2 : 3 : 3. Найдите их.
- углы относятся как \(1 : 2 : 3 : 3\)
- углы
- Пусть одна часть равна \(x\). Тогда углы \(x\), \(2x\), \(3x\), \(3x\).
- Сумма углов выпуклого четырёхугольника \(360^\circ\): \(x + 2x + 3x + 3x = 360^\circ\), \(9x = 360^\circ\), \(x = 40^\circ\).
- Углы: \(40^\circ\), \(80^\circ\), \(120^\circ\), \(120^\circ\). Проверка: \(40 + 80 + 120 + 120 = 360\).
Стороны и диагонали по внешнему углу
У выпуклого многоугольника все углы равны, а внешний угол при каждой вершине равен 24°. Сколько у многоугольника сторон и сколько диагоналей?
- все внешние углы по \(24^\circ\)
- число сторон \(n\) и число диагоналей
- Сумма внешних углов равна \(360^\circ\), поэтому \(n = 360^\circ : 24^\circ = 15\).
- Диагоналей: \(\dfrac{15 \cdot (15 - 3)}{2} = \dfrac{15 \cdot 12}{2} = 90\).
- Проверка: угол многоугольника \(180^\circ - 24^\circ = 156^\circ\), \(15 \cdot 156^\circ = 2340^\circ = 13 \cdot 180^\circ = (15 - 2) \cdot 180^\circ\).
Типичные ошибки
Формула \(n(n - 3)\) считает каждую диагональ дважды: диагональ \(AC\) попадает в счёт и от вершины \(A\), и от вершины \(C\). У четырёхугольника так получилось бы 4 диагонали вместо 2.
Число диагоналей \(\dfrac{n(n-3)}{2}\). Проверяйте на четырёхугольнике: \(\dfrac{4 \cdot 1}{2} = 2\).
Сумма углов растёт с числом сторон (\(180^\circ\) у треугольника, \(360^\circ\) у четырёхугольника, \(540^\circ\) у пятиугольника), а сумма внешних углов всегда \(360^\circ\). Ученики пишут «сумма внешних углов пятиугольника \(540^\circ\)» или считают сумму углов как \(n \cdot 180^\circ\).
Сумма углов — \((n - 2) \cdot 180^\circ\), сумма внешних углов (по одному при вершине) — \(360^\circ\) при любом \(n\). Для проверки сложите: угол и внешний угол при вершине дают \(180^\circ\).
Это верно только для выпуклого четырёхугольника. У невыпуклого одна из диагоналей лежит вне фигуры и ничего не разрезает.
У невыпуклого четырёхугольника на два треугольника его делит только диагональ, выходящая из «вдавленной» вершины. Прежде чем резать фигуру диагональю, убедитесь, что многоугольник выпуклый.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника?
Показать ответ
Ответ: Б) 720°
\((6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ\).
-
Сколько диагоналей у выпуклого восьмиугольника?
Показать ответ
Ответ: 20
\(\dfrac{8 \cdot (8 - 3)}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) У любого четырёхугольника две диагонали; В) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°
Сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) любого выпуклого многоугольника равна \(360^\circ\); у треугольника все вершины соседние, диагоналей нет.
-
Углы выпуклого четырёхугольника относятся как 2 : 3 : 3 : 4. Найдите наибольший угол в градусах.
Показать ответ
Ответ: 120
Всего \(2 + 3 + 3 + 4 = 12\) частей, одна часть \(\dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ\), наибольший угол \(4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\).
-
При каждой вершине выпуклого двадцатиугольника взяли по одному внешнему углу. Чему равна их сумма?
Показать ответ
Ответ: Б) 360°
Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна \(360^\circ\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.
Подсказка
Сумма углов выпуклого n-угольника равна \((n - 2) \cdot 180^\circ\).
Решение
У семиугольника \(n = 7\).
\((7 - 2) \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ\).
Ответ
Сколько диагоналей у выпуклого девятиугольника?
Подсказка
Число диагоналей выпуклого n-угольника равно \(\dfrac{n(n - 3)}{2}\).
Решение
Из каждой из 9 вершин выходит \(9 - 3 = 6\) диагоналей. Всего \(9 \cdot 6 = 54\), но так каждая диагональ посчитана дважды — с обоих концов.
\(\dfrac{9 \cdot 6}{2} = 27\).
Ответ
Три угла выпуклого четырёхугольника равны 70°, 95° и 110°. Найдите четвёртый угол.
Подсказка
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\).
Решение
\(70^\circ + 95^\circ + 110^\circ = 275^\circ\).
Четвёртый угол: \(360^\circ - 275^\circ = 85^\circ\).
Ответ
Все углы выпуклого многоугольника равны 150°. Сколько у него сторон?
Подсказка
Найдите внешний угол при каждой вершине и вспомните, чему равна сумма внешних углов.
Решение
Внешний угол при каждой вершине равен \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна \(360^\circ\), значит, вершин \(360^\circ : 30^\circ = 12\). Сторон столько же, сколько вершин.
Проверка: \((12 - 2) \cdot 180^\circ = 1800^\circ\) и \(12 \cdot 150^\circ = 1800^\circ\).
Ответ
У выпуклого многоугольника 35 диагоналей. Сколько у него сторон?
Подсказка
Составьте уравнение \(\dfrac{n(n - 3)}{2} = 35\) и подберите натуральное \(n\).
Решение
\(\dfrac{n(n - 3)}{2} = 35\), то есть \(n(n - 3) = 70\).
Нужны два натуральных числа, которые отличаются на 3 и в произведении дают 70: это \(10\) и \(7\). Значит, \(n = 10\).
При \(n < 10\) произведение \(n(n - 3)\) меньше 70, при \(n > 10\) — больше, поэтому других решений нет.
Ответ
Может ли у выпуклого многоугольника быть четыре острых угла?
Подсказка
Каким будет внешний угол при вершине с острым углом?
Решение
Если угол многоугольника острый (меньше \(90^\circ\)), то внешний угол при этой вершине больше \(90^\circ\).
Четыре таких внешних угла в сумме дали бы больше \(4 \cdot 90^\circ = 360^\circ\). Но сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) равна ровно \(360^\circ\), а остальные внешние углы положительны. Противоречие.
Значит, острых углов у выпуклого многоугольника не больше трёх.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на бумаге пятиугольник, разрежьте его ножницами по двум диагоналям из одной вершины — получится три треугольника, значит, сумма углов \(3 \cdot 180^\circ = 540^\circ\). Потом «пройдите» по контуру пальцем: на каждой вершине палец поворачивает, а в конце смотрит туда же, куда в начале, — полный оборот, \(360^\circ\). Это и есть сумма внешних углов. Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у треугольника нет диагоналей? 2) Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника и почему? 3) Может ли каждый угол выпуклого многоугольника быть равен 100°? (Нет: внешний угол 80°, а 360 на 80 нацело не делится.) На что обратить внимание. Формулы верны для выпуклых многоугольников; ребёнок должен помнить «минус 2» в формуле суммы углов и деление на 2 в формуле диагоналей и уметь вывести обе, а не только заучить.