Задача 1
Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону пересекает биссектриса угла A? Найдите отрезки, на которые она делит эту сторону.
Решение
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(P = 46\) см
- \(AB = 14\) см
- \(AF\) — биссектриса угла \(A\)
- какую сторону пересекает \(AF\) и отрезки этой стороны
-
Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому \(AB + AD = 46 : 2 = 23\) см, \(AD = BC = 23 - 14 = 9\) см, \(CD = AB = 14\) см.
-
Пусть биссектриса пересекает прямую \(BC\) в точке \(E\). Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle AEB = \angle EAD\) (накрест лежащие), а \(\angle EAD = \angle BAE\). Значит, \(\triangle ABE\) равнобедренный и \(BE = AB = 14\) см. Но \(BC = 9\) см \(< 14\) см, поэтому точка \(E\) лежит на продолжении стороны \(BC\) за точку \(C\), и сторону \(BC\) биссектриса не пересекает. Она пересекает сторону \(CD\) в некоторой точке \(F\).
-
Так как \(AB \parallel CD\), то \(\angle AFD = \angle FAB = \angle FAD\). Значит, \(\triangle AFD\) равнобедренный: \(DF = AD = 9\) см.
-
\(FC = CD - DF = 14 - 9 = 5\) см.
Ответ
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, поэтому DF = AD.
Подробнее — в теме «Параллелограмм».