Какой четырёхугольник называют параллелограммом?

У которого две стороны параллельны

У которого все стороны равны

У которого диагонали равны

Какие утверждения верны для любого параллелограмма?

Сумма соседних углов равна 180°

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, BD = 18 см. Чему равен OD?

Нельзя найти без второй диагонали

Параллелограмм — 8 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Многоугольники. Четырёхугольник

Коротко о главном

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. У него противоположные стороны и противоположные углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

AB = CD,\quad AD = BC,\quad \angle A = \angle C,\quad \angle B = \angle D,\quad AO = OC,\quad BO = OD

Подробное объяснение

Посмотрите на раздвижную решётку на окне или на рейки складного метра: если две пары реек скреплены «накрест» и попарно параллельны, получается фигура, которую можно перекашивать, но её противоположные стороны всё время остаются одинаковыми. Это параллелограмм.

Определение

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$ . Параллелограмм всегда выпуклый: он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.

Свойство 1: стороны и углы

Два одинаковых параллелограмма ABCD. Слева отмечены равные противоположные стороны и равные противоположные углы. Справа проведены диагонали, точка O делит каждую из них пополам. — У параллелограмма противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Почему так. Проведём диагональ $$AC$$ . Она делит параллелограмм на треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ . У них общая сторона $$AC$$ , а углы при ней попарно равны как накрест лежащие: $\angle BAC = \angle DCA$ (при $AB \parallel CD$ ), $\angle BCA = \angle DAC$ (при $BC \parallel AD$ ). Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда $$AB = CD$$ , $$BC = AD$$ и $\angle B = \angle D$ . Угол $$A$$ складывается из двух углов при диагонали, угол $$C$$ — из двух таких же, поэтому $\angle A = \angle C$ .

Ещё одно полезное следствие — уже из курса 7 класса: соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$ , потому что это односторонние углы при параллельных прямых. Поэтому, зная один угол, можно найти все четыре.

Свойство 2: диагонали

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ . Треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $$AB = CD$$ по свойству 1, а углы при этих сторонах равны как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ . Значит, $$AO = OC$$ и $$BO = OD$$ .

Обратите внимание: диагонали делят друг друга пополам, но сами они в общем случае разной длины.

Как решать задачи

Отметьте на чертеже параллельные стороны и сразу — равные противоположные стороны и углы.
Периметр: $$P = 2(a + b)$$ , где $$a$$ и $$b$$ — соседние стороны. Сумма соседних сторон — половина периметра.
Углы: противоположные равны, соседние в сумме $180^\circ$ .
Диагонали: от точки пересечения до вершин — половины диагоналей. Ищите равные треугольники с вершиной в этой точке.
Если проведена биссектриса угла, ищите накрест лежащие углы: биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Разобранные примеры

База

Углы по их разности

Условие

В параллелограмме $$ABCD$$ угол $$A$$ на $40^\circ$ больше угла $$B$$ . Найдите все углы.

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$\angle A - \angle B = 40^\circ$

Найти

$\angle A$
$\angle B$
$\angle C$
$\angle D$

Решение

Углы $$A$$ и $$B$$ соседние, поэтому $\angle A + \angle B = 180^\circ$ . Складываем с условием: $2\angle A = 220^\circ$ , $\angle A = 110^\circ$ , $\angle B = 70^\circ$ . Противоположные углы равны: $\angle C = 110^\circ$ , $\angle D = 70^\circ$ .

Ответ: ∠A = ∠C = 110°, ∠B = ∠D = 70°

Средний

Периметр через биссектрису

Условие

Биссектриса угла $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$F$$ , $$BF = 3$$ см, $$FC = 5$$ см. Найдите периметр параллелограмма.

Дано

$$DF$$ — биссектриса $\angle D$
$$BF = 3$$ см
$$FC = 5$$ см

Найти

$P_{ABCD}$

Решение

$\angle CFD = \angle FDA$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $$DF$$ , а $\angle FDA = \angle FDC$ , так как $$DF$$ — биссектриса. Значит, в треугольнике $$FCD$$ углы при $$F$$ и $$D$$ равны и $$CD = FC = 5$$ см. Сторона $$BC = 3 + 5 = 8$$ см. Периметр $$P = 2(5 + 8) = 26$$ см.

Ответ: 26 см

Сложный

Перпендикуляры из противоположных вершин

Условие

Из вершин $$B$$ и $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$ к диагонали $$AC$$ проведены перпендикуляры $$BH$$ и $$DK$$ . Докажите, что $$BH = DK$$ .

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $BH \perp AC$ , $DK \perp AC$ . Доказать: $$BH = DK$$ .

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CDK$$ . Гипотенузы равны: $$AB = CD$$ как противоположные стороны. Острые углы $$BAH$$ и $$DCK$$ равны как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $$AC$$ . Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, поэтому $$BH = DK$$ .

Ответ: Утверждение доказано: треугольники ABH и CDK равны

Типичные ошибки

Считают, что диагонали параллелограмма равны

Почему неверно

Диагонали параллелограмма делятся пополам, но их длины обычно разные: у «скошенного» параллелограмма одна диагональ заметно длиннее. Равные диагонали — особый случай (прямоугольник).

Как правильно

Записывайте $$AO = OC$$ и $$BO = OD$$ , но не $$AC = BD$$ , если это не дано в условии.

Путают противоположные и соседние углы

Почему неверно

Противоположные углы ( $$A$$ и $$C$$ ) равны, а соседние ( $$A$$ и $$B$$ ) в сумме дают $180^\circ$ . Если перепутать, получится, например, что все углы параллелограмма равны.

Как правильно

Соседние вершины идут подряд по буквам ( $$A$$ и $$B$$ , $$B$$ и $$C$$ ), противоположные — через одну ( $$A$$ и $$C$$ , $$B$$ и $$D$$ ).

Делят периметр на 4

Почему неверно

Стороны параллелограмма попарно равны, но соседние стороны могут быть разными. Делить периметр на 4 можно только у ромба.

Как правильно

Сначала найдите сумму соседних сторон, $$P : 2$$ , а потом используйте второе условие (разность или отношение сторон).

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В параллелограмме ABCD сторона AB = 7 см, сторона BC = 11 см. Найдите CD, AD и периметр параллелограмма.

Подсказка

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Решение

Противоположные стороны параллелограмма равны: $$CD = AB = 7$$ см, $$AD = BC = 11$$ см. Периметр $$P = 2(7 + 11) = 36$$ см.

Ответ

CD = 7 см, AD = 11 см, P = 36 см

База Задача 2

Один из углов параллелограмма равен 72°. Найдите остальные три угла.

Подсказка

Соседние углы параллелограмма — односторонние при параллельных прямых.

Решение

Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$ (это односторонние углы при параллельных сторонах и секущей), поэтому соседний угол равен $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ . Противоположные углы равны, значит, углы параллелограмма: $72^\circ$ , $108^\circ$ , $72^\circ$ , $108^\circ$ .

Ответ

108°, 72°, 108°

Средний Задача 3

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 14 см, BD = 10 см, AB = 8 см. Найдите периметр треугольника AOB.

Подсказка

Точка пересечения делит каждую диагональ пополам.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: $AO = \dfrac{14}{2} = 7$ см, $BO = \dfrac{10}{2} = 5$ см. Периметр треугольника $$AOB$$ : $$7 + 5 + 8 = 20$$ см.

Ответ

20 см

Средний Задача 4

Периметр параллелограмма равен 56 см, одна сторона в 3 раза меньше другой. Найдите стороны параллелограмма.

Подсказка

Полупериметр равен сумме двух соседних сторон.

Решение

Дано

$$P = 56$$ см
одна сторона в 3 раза больше другой

Найти

стороны

Сумма двух соседних сторон равна половине периметра: $$56 : 2 = 28$$ см. Пусть меньшая сторона $$x$$ , тогда большая $$3x$$ и $$x + 3x = 28$$ , $$x = 7$$ см, $$3x = 21$$ см.

Ответ

7 см, 21 см, 7 см, 21 см

Сложный Задача 5

Биссектриса угла B параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке E, AE = 6 см, ED = 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Подсказка

Найдите равнобедренный треугольник, который отсекает биссектриса.

Решение

Дано

$$BE$$ — биссектриса $\angle B$
$$E$$ на $$AD$$
$$AE = 6$$ см
$$ED = 4$$ см

Найти

$P_{ABCD}$

$\angle AEB = \angle EBC$ как накрест лежащие при $AD \parallel BC$ и секущей $$BE$$ . А $\angle EBC = \angle ABE$ , так как $$BE$$ — биссектриса. Значит, $\angle AEB = \angle ABE$ , треугольник $$ABE$$ равнобедренный и $$AB = AE = 6$$ см. Сторона $$AD = 6 + 4 = 10$$ см. Периметр $$P = 2(6 + 10) = 32$$ см.

Ответ

32 см

Сложный Задача 6

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках M и K. Докажите, что BM = DK.

Подсказка

Сравните треугольники BOM и DOK.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения диагоналей, $$M$$ на $$BC$$ , $$K$$ на $$AD$$ , $$O$$ лежит на $$MK$$ . Доказать: $$BM = DK$$ .

Диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому $$BO = OD$$ . Углы $$OBM$$ и $$ODK$$ равны как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $$BD$$ . Углы $$BOM$$ и $$DOK$$ равны как вертикальные. Треугольники $$BOM$$ и $$DOK$$ равны по стороне и двум прилежащим углам, значит, $$BM = DK$$ .

Ответ

Утверждение доказано: треугольники BOM и DOK равны

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две пары одинаковых карандашей или палочек и сложите из них четырёхугольник так, чтобы противоположные были одинаковыми. Перекашивайте его: стороны остаются параллельными, противоположные углы — одинаковыми. Протяните две нитки по диагоналям: они всегда пересекаются в середине каждой нитки, хотя сами нитки разной длины.

Вопросы для проверки понимания: 1) Один угол параллелограмма $50^\circ$ — чему равны остальные? 2) Почему диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника? 3) Обязательно ли диагонали параллелограмма равны?

На что обратить внимание. Ребёнок должен обосновывать каждое равенство: «противоположные стороны параллелограмма», «накрест лежащие углы», «диагонали делятся пополам». Без этих слов решение задачи на доказательство не засчитают.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 48	471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 485