Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 523

Задача 1

Условие (кратко)

Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ , $$M$$ — точка основания $$AC$$ , $MK \parallel BC$ ( $$K$$ на $$AB$$ ), $MN \parallel AB$ ( $$N$$ на $$BC$$ ). Доказать: $P_{BKMN} = AB + BC$ .

У четырёхугольника $$BKMN$$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм: $$KM = BN$$ , $$MN = BK$$ . Поэтому $P_{BKMN} = 2(BK + KM)$ .
$\angle KMA = \angle C$ как соответственные углы при $MK \parallel BC$ и секущей $$AC$$ . А $\angle C = \angle A$ , так как треугольник равнобедренный. Значит, $\angle KMA = \angle KAM$ , и $\triangle AKM$ равнобедренный: $$KM = AK$$ .
$P_{BKMN} = 2(BK + AK) = 2AB = AB + BC$ .

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Получается параллелограмм, а отрезок KM равен AK, потому что треугольник AKM равнобедренный; поэтому полупериметр равен AB.

Подробнее — в теме «Параллелограмм».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).