Задача 1
В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB \ne AD\), \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — биссектрисы углов \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Доказать: при пересечении биссектрис образуется прямоугольник.
-
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому в треугольнике, образованном стороной \(AB\) и биссектрисами \(a\) и \(b\), два угла в сумме дают \(90^\circ\), а третий равен \(90^\circ\): \(a \perp b\).
-
Так же \(b \perp c\), \(c \perp d\), \(d \perp a\). Обозначим \(P = a \cap b\), \(Q = b \cap c\), \(R = c \cap d\), \(S = d \cap a\).
-
Четырёхугольник \(PQRS\) невырожденный: если бы биссектрисы \(a\) и \(c\) совпали, биссектриса угла \(A\) проходила бы через \(C\), диагональ \(AC\) делила бы угол \(A\) пополам, и тогда \(\angle BCA = \angle CAD = \angle BAC\), то есть \(AB = BC = AD\) — противоречие с условием. Так же совпадение \(b\) и \(d\) означало бы, что \(BD\) делит угол \(B\) пополам и \(AB = AD\), поэтому \(b \ne d\).
-
У четырёхугольника \(PQRS\) все углы прямые, значит, это прямоугольник (задача 503).
Ответ
Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, перпендикулярны, поэтому у образованного четырёхугольника все углы прямые.
Подробнее — в теме «Прямоугольник».