Какой параллелограмм называют прямоугольником?

Параллелограмм, у которого все стороны равны

Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны

Какие утверждения верны для любого прямоугольника?

Противоположные стороны равны

Диагонали взаимно перпендикулярны

В четырёхугольнике диагонали равны. Можно ли сразу утверждать, что это прямоугольник?

Нет — нужно ещё знать, что это параллелограмм

Да, если одна из сторон больше другой

Нет, прямоугольник так узнать нельзя

Прямоугольник — 8 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Параллелограмм

Коротко о главном

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. У него есть все свойства параллелограмма и ещё одно своё: диагонали прямоугольника равны. Верно и обратное: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

ABCD \text{ — прямоугольник} \;\Rightarrow\; AC = BD

Подробное объяснение

Как плотник проверяет, что рама окна получилась ровной? Он не прикладывает угольник к каждому углу, а измеряет рулеткой две диагонали. Совпали — рама прямоугольная. Почему этот способ работает, и разбирается в этой теме.

Что такое прямоугольник

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые. Раз это параллелограмм, у него сразу есть все знакомые свойства:

противоположные стороны равны и параллельны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Проверять все четыре угла не нужно. Если у параллелограмма один угол прямой, то противоположный ему тоже прямой, а соседние углы дополняют его до $180^\circ$ и тоже равны $90^\circ$ .

Особое свойство: диагонали равны

Прямоугольник ABCD с прямыми углами при всех вершинах. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, все четыре их половины отмечены как равные. — Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = BO = CO = DO.

Возьмём прямоугольник $$ABCD$$ и проведём диагонали $$AC$$ и $$BD$$ . Посмотрим на прямоугольные треугольники $$ACD$$ и $$DBA$$ . У них катет $$AD$$ общий, а катеты $$CD$$ и $$BA$$ равны как противоположные стороны. Треугольники равны по двум катетам, значит, равны и гипотенузы: $$AC = BD$$ .

Из этого получается полезное следствие. Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали равны и делятся пополам, поэтому все четыре половинки одинаковы:

\[AO = BO = CO = DO.\]

Значит, треугольники $$AOB$$ , $$BOC$$ , $$COD$$ и $$DOA$$ — равнобедренные. На этом построено большинство задач.

Признак прямоугольника

Обратное утверждение: если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник.

Почему. В параллелограмме $$ABCD$$ с равными диагоналями треугольники $$ABD$$ и $$DCA$$ равны по трём сторонам: $$AB = DC$$ , $$BD = CA$$ , сторона $$AD$$ общая. Отсюда $\angle A = \angle D$ . Но эти углы соседние, их сумма $180^\circ$ . Значит, каждый по $90^\circ$ , а тогда прямые и остальные углы.

Важно слово «параллелограмм». У равнобедренной трапеции диагонали тоже равны, но прямоугольником она не является. Поэтому у плотника есть ещё одно правило: противоположные стороны рамы должны быть одинаковой длины — это и делает её параллелограммом.

Как решать задачи

Отметьте на чертеже прямые углы и равные противоположные стороны.
Проведены диагонали — запишите $$AO = BO = CO = DO$$ и ищите равнобедренные треугольники.
Есть биссектриса угла прямоугольника — она отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник: углы по $45^\circ$ , катеты равны.
Нужно доказать, что фигура — прямоугольник, — сначала докажите, что это параллелограмм, затем найдите прямой угол или равные диагонали.

Разобранные примеры

База

Диагонали и углы

Условие

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$ , $$AC = 16$$ см, $\angle CAD = 25^\circ$ . Найдите $$BD$$ , $$OD$$ и угол $$BDA$$ .

Дано

$$ABCD$$ — прямоугольник
$$AC = 16$$ см
$\angle CAD = 25^\circ$

Найти

$$BD$$
$$OD$$
$\angle BDA$

Решение

Диагонали прямоугольника равны: $$BD = 16$$ см. Точка $$O$$ делит диагональ пополам: $$OD = 8$$ см. Так как $$AO = OD$$ , треугольник $$AOD$$ равнобедренный, углы при основании $$AD$$ равны: $\angle BDA = \angle ODA = \angle OAD = 25^\circ$ .

Ответ: BD = 16 см, OD = 8 см, ∠BDA = 25°

Средний

Биссектриса отсекает квадрат

Условие

Биссектриса угла $$B$$ прямоугольника $$ABCD$$ пересекает сторону $$AD$$ в точке $$K$$ , $$AK = 5$$ см, $$KD = 3$$ см. Найдите периметр прямоугольника.

Дано

$$BK$$ — биссектриса $\angle B$
$$AK = 5$$ см
$$KD = 3$$ см

Найти

$$P$$

Решение

Биссектриса делит прямой угол пополам: $\angle ABK = 45^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ второй острый угол тоже $45^\circ$ , поэтому треугольник равнобедренный: $$AB = AK = 5$$ см. Сторона $$AD = 5 + 3 = 8$$ см. Периметр $$P = 2(5 + 8) = 26$$ см.

Ответ: 26 см

Сложный

Параллелограмм с равнобедренным треугольником

Условие

Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ , и треугольник $$AOB$$ равнобедренный с основанием $$AB$$ . Докажите, что $$ABCD$$ — прямоугольник.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$AO = BO$$ . Доказать: $$ABCD$$ — прямоугольник.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам: $$AC = 2AO$$ , $$BD = 2BO$$ . Так как $$AO = BO$$ , получаем $$AC = BD$$ . Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Ответ: Доказано: ABCD — прямоугольник

Типичные ошибки

Любой четырёхугольник с равными диагоналями считают прямоугольником

Почему неверно

Признак прямоугольника сформулирован для параллелограмма. У равнобедренной трапеции диагонали равны, а углы не прямые; можно нарисовать и совсем неправильный четырёхугольник с равными диагоналями.

Как правильно

Сначала докажите, что четырёхугольник — параллелограмм (по признакам из п. 49), и только потом ссылайтесь на равные диагонали.

Считают, что диагонали прямоугольника перпендикулярны

Почему неверно

Это свойство ромба и квадрата. У вытянутого прямоугольника диагонали пересекаются под острым и тупым углами, например $60^\circ$ и $120^\circ$ .

Как правильно

У прямоугольника диагонали равны и делятся пополам. Угол между ними находите из равнобедренных треугольников $$AOB$$ и $$AOD$$ .

Теряют второй случай в задаче с биссектрисой

Почему неверно

Если сказано, что биссектриса угла $$A$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки 2 см и 6 см, неизвестно, какой из них прилегает к вершине $$B$$ . Решив только один вариант, теряют половину ответа.

Как правильно

Разберите оба случая: $$AB = BK = 2$$ см или $$AB = BK = 6$$ см. Сторона $$BC = 8$$ см в обоих случаях, периметр 20 см или 28 см.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, AC = 14 см. Найдите BD и AO.

Подсказка

Какие свойства есть у диагоналей любого параллелограмма и какое — только у прямоугольника?

Решение

Диагонали прямоугольника равны: $$BD = AC = 14$$ см. Прямоугольник — параллелограмм, поэтому диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = \dfrac{14}{2} = 7$ см.

Ответ

BD = 14 см, AO = 7 см

База Задача 2

В прямоугольнике ABCD диагональ AC образует со стороной AB угол 35°. Найдите угол между диагональю AC и стороной AD.

Подсказка

Угол BAD прямой.

Решение

Угол $$BAD$$ прямоугольника равен $90^\circ$ , диагональ $$AC$$ делит его на два угла: $\angle CAD = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Ответ

55°

Средний Задача 3

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, ∠AOB = 60°, AC = 10 см. Найдите сторону AB.

Подсказка

Какие стороны треугольника AOB равны?

Решение

Диагонали равны и делятся точкой $$O$$ пополам, поэтому $AO = BO = \dfrac{10}{2} = 5$ см. Треугольник $$AOB$$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, его углы при основании равны $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ . Все углы по $60^\circ$ — треугольник равносторонний, $$AB = 5$$ см.

Ответ

AB = 5 см

Средний Задача 4

Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересекает сторону BC в точке K, BK = 4 см, KC = 3 см. Найдите периметр прямоугольника.

Подсказка

Найдите равные углы в треугольнике ABK — помогут накрест лежащие углы при AD ∥ BC.

Решение

$\angle BAK = \angle KAD = 45^\circ$ (биссектриса прямого угла). Углы $$KAD$$ и $$AKB$$ накрест лежащие при $AD \parallel BC$ , поэтому $\angle AKB = \angle BAK$ , и треугольник $$ABK$$ равнобедренный: $$AB = BK = 4$$ см. $$BC = 4 + 3 = 7$$ см. Периметр $$P = 2(4 + 7) = 22$$ см.

Ответ

22 см

Сложный Задача 5

Диагональ прямоугольника вдвое длиннее одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями.

Подсказка

В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°.

Решение

Пусть в прямоугольнике $$ABCD$$ диагональ $$AC = 2AB$$ . В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катет $$AB$$ равен половине гипотенузы $$AC$$ , значит, $\angle ACB = 30^\circ$ и $\angle BAC = 60^\circ$ . Диагонали равны и делятся пополам, поэтому $$AO = BO$$ , и в равнобедренном треугольнике $$AOB$$ углы при основании равны $60^\circ$ . Тогда $\angle AOB = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ$ — это и есть острый угол между диагоналями.

Ответ

60°

Сложный Задача 6

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника одинаково удалена от всех его вершин.

Подсказка

Достройте треугольник до прямоугольника.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C = 90^\circ$ , $$M$$ — середина $$AB$$ . Доказать: $$MA = MB = MC$$ .

Отложим на луче $$CM$$ за точку $$M$$ отрезок $$MD = CM$$ . В четырёхугольнике $$ACBD$$ диагонали $$AB$$ и $$CD$$ точкой пересечения $$M$$ делятся пополам, значит, это параллелограмм. У него угол $$C$$ прямой, поэтому все углы прямые — это прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны: $$CD = AB$$ , а их половины тоже равны: $MC = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{AB}{2} = MA = MB$ .

Ответ

Утверждение доказано: MA = MB = MC

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги А4 и две нитки. Натяните нитки по диагоналям — они одинаковые. Затем сложите из четырёх палочек (карандашей) «покосившуюся» рамку-параллелограмм: диагонали станут разными. Выпрямите рамку — диагонали сравняются. Так ребёнок видит и свойство, и признак.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у прямоугольника есть все свойства параллелограмма? 2) Как, имея только рулетку, проверить, что рамка прямоугольная? 3) Диагональ прямоугольника 12 см — чему равен отрезок от вершины до точки пересечения диагоналей?

На что обратить внимание. Ребёнок должен различать свойство («у прямоугольника диагонали равны») и признак («у параллелограмма с равными диагоналями все углы прямые»). Если в признаке пропадает слово «параллелограмм», вывод становится неверным.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 51	502, 503, 504, 505, 506, 515, 518