Задача 1
Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), \(\angle B + \angle C = 180^\circ\). Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм.
-
Углы \(A\) и \(B\) — односторонние при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Их сумма равна \(180^\circ\), значит, \(AD \parallel BC\).
-
Углы \(B\) и \(C\) — односторонние при прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(BC\). Их сумма равна \(180^\circ\), значит, \(AB \parallel CD\).
-
Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм по определению.
Ответ
Сумма односторонних углов 180° означает параллельность прямых, поэтому обе пары противоположных сторон параллельны.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».