По каким условиям четырёхугольник ABCD — точно параллелограмм?

Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам

В четырёхугольнике AB ∥ CD и AB = CD. Какой признак позволяет сказать, что это параллелограмм?

Первый: две стороны равны и параллельны

Второй: противоположные стороны попарно равны

Третий: диагонали делятся пополам

Никакой, нужна ещё одна пара параллельных сторон

Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке O, AO = 5 см, OC = 5 см, BO = 3 см, OD = 4 см. Это параллелограмм?

Нет: диагональ BD не делится точкой O пополам

Да, потому что AO = OC

Да, у любого четырёхугольника с пересекающимися диагоналями

Нельзя сказать без углов

Чем признак отличается от свойства параллелограмма?

Свойство выводится из того, что фигура — параллелограмм, а признак позволяет это доказать

Ничем, это одно и то же

Признак верен только для выпуклых четырёхугольников, а свойство — для любых

Свойства касаются углов, а признаки — сторон

Признаки параллелограмма — 8 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Параллелограмм

Коротко о главном

Признак отвечает на вопрос «как узнать, что четырёхугольник — параллелограмм». Достаточно одного из трёх условий: две противоположные стороны равны и параллельны; противоположные стороны попарно равны; диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

AB = CD,\ AB \parallel CD \quad\text{или}\quad AB = CD,\ BC = AD \quad\text{или}\quad AO = OC,\ BO = OD

Подробное объяснение

Как столяру проверить, что рама получилась параллелограммом, если угломера нет, а есть только рулетка? Измерить противоположные стороны или диагонали. Почему этого хватает — объясняют признаки.

Свойство и признак

Свойство говорит: «если $$ABCD$$ — параллелограмм, то у него противоположные стороны равны». Признак — обратное утверждение: «если у четырёхугольника противоположные стороны равны, то это параллелограмм». Признаки нужны, чтобы доказать, что перед нами параллелограмм, и после этого пользоваться всеми его свойствами.

Три четырёхугольника ABCD. В первом стороны AB и CD отмечены равными и параллельными, во втором попарно равны противоположные стороны, в третьем диагонали делятся точкой O пополам. — Любого из трёх условий достаточно, чтобы четырёхугольник был параллелограммом.

Признак 1: две стороны равны и параллельны

Пусть $AB \parallel CD$ и $$AB = CD$$ . Проведём диагональ $$AC$$ . Треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$AC$$ — общая, $$AB = CD$$ , а углы $$BAC$$ и $$DCA$$ равны как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ . Из равенства треугольников $\angle BCA = \angle DAC$ , а это накрест лежащие углы при прямых $$BC$$ , $$AD$$ и секущей $$AC$$ . Значит, $BC \parallel AD$ — обе пары сторон параллельны.

Признак 2: противоположные стороны попарно равны

Пусть $$AB = CD$$ и $$BC = AD$$ . Треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны по трём сторонам, поэтому $\angle BAC = \angle DCA$ . Это накрест лежащие углы, значит, $AB \parallel CD$ . Теперь $$AB$$ и $$CD$$ равны и параллельны — работает признак 1.

Признак 3: диагонали делятся пополам

Пусть диагонали пересекаются в точке $$O$$ и $$AO = OC$$ , $$BO = OD$$ . Треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равны по двум сторонам и углу между ними (углы при $$O$$ вертикальные). Отсюда $$AB = CD$$ и $\angle OAB = \angle OCD$ — накрест лежащие, поэтому $AB \parallel CD$ . Снова работает признак 1.

Средняя линия треугольника

Важное применение признаков — средняя линия треугольника, отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. Доказывают так: продлевают среднюю линию на её длину и получают параллелограмм по признаку 1. Обратно, прямая, проведённая через середину одной стороны параллельно другой, проходит через середину третьей стороны.

Как решать задачи

Выпишите, что дано про стороны и диагонали четырёхугольника.
Подберите признак: равные и параллельные стороны — признак 1; две пары равных сторон — признак 2; середина диагоналей — признак 3.
Недостающие равенства обычно добывают из равных треугольников или из свойств уже известного параллелограмма.
Доказав, что фигура — параллелограмм, пользуйтесь его свойствами: равные стороны и углы, середина диагоналей.

Разобранные примеры

База

Проверка по диагоналям

Условие

Диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$AC = 16$$ см, $$AO = 8$$ см, $$BO = OD = 5$$ см. Докажите, что $$ABCD$$ — параллелограмм, и найдите $$BD$$ .

Дано

$$AC = 16$$ см
$$AO = 8$$ см
$$BO = OD = 5$$ см

Найти

$$BD$$
доказать
что $$ABCD$$ — параллелограмм

Решение

$$OC = AC - AO = 16 - 8 = 8$$ см, то есть $$AO = OC$$ . Кроме того, $$BO = OD$$ . Диагонали делятся точкой пересечения пополам — по признаку 3 $$ABCD$$ — параллелограмм. $$BD = 5 + 5 = 10$$ см.

Ответ: Параллелограмм, BD = 10 см

Средний

Середины противоположных сторон

Условие

$$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ . Докажите, что $$ABMN$$ — параллелограмм.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$BM = MC$$ , $$AN = ND$$ . Доказать: $$ABMN$$ — параллелограмм.

$$BC = AD$$ как противоположные стороны, значит, их половины равны: $$BM = AN$$ . Отрезки $$BM$$ и $$AN$$ лежат на параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ , поэтому $BM \parallel AN$ . В четырёхугольнике $$ABMN$$ стороны $$BM$$ и $$AN$$ равны и параллельны — по признаку 1 это параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано: BM = AN и BM ∥ AN

Сложный

Средняя линия в задаче

Условие

В треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$ , $$AC = 18$$ см, $\angle BAC = 50^\circ$ . Найдите $$MN$$ и $\angle BMN$ .

Дано

$$AM = MB$$
$$BN = NC$$
$$AC = 18$$ см
$\angle BAC = 50^\circ$

Найти

$$MN$$
$\angle BMN$

Решение

$$MN$$ — средняя линия треугольника, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \dfrac{AC}{2} = 9$ см. Углы $$BMN$$ и $$BAC$$ — соответственные при $MN \parallel AC$ и секущей $$AB$$ , значит, $\angle BMN = 50^\circ$ .

Ответ: MN = 9 см, ∠BMN = 50°

Типичные ошибки

Путают признак со свойством

Почему неверно

Пишут « $$ABCD$$ — параллелограмм, так как у параллелограмма противоположные стороны равны». Это рассуждение по кругу: свойство можно применять, только когда уже известно, что фигура — параллелограмм.

Как правильно

Сначала доказать по признаку: «противоположные стороны попарно равны, значит, по признаку 2 $$ABCD$$ — параллелограмм», и только потом пользоваться свойствами.

Берут для признака 1 разные пары сторон

Почему неверно

Условие « $AB \parallel CD$ и $$BC = AD$$ » не даёт параллелограмма: так устроена равнобедренная трапеция. В признаке 1 равными и параллельными должны быть одни и те же две стороны.

Как правильно

Проверяйте, что равенство и параллельность относятся к одной паре: $$AB = CD$$ и $AB \parallel CD$ .

Проверяют середину только одной диагонали

Почему неверно

Если пополам делится только одна диагональ, четырёхугольник может быть каким угодно: другую диагональ можно сдвинуть вдоль её прямой.

Как правильно

Для признака 3 нужны оба равенства: $$AO = OC$$ и $$BO = OD$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В четырёхугольнике ABCD стороны AB = CD = 9 см и BC = AD = 5 см. Докажите, что ABCD — параллелограмм, и найдите его периметр.

Подсказка

Какой признак говорит о двух парах равных сторон?

Решение

Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, поэтому по второму признаку $$ABCD$$ — параллелограмм. Периметр $$P = 2(9 + 5) = 28$$ см.

Ответ

Параллелограмм, P = 28 см

База Задача 2

Диагонали четырёхугольника KLMN пересекаются в точке O, KO = OM = 4 см, LO = ON = 6 см. Является ли KLMN параллелограммом? Найдите длины диагоналей.

Подсказка

Точка пересечения делит каждую диагональ пополам?

Решение

Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам ( $$KO = OM$$ , $$LO = ON$$ ), значит, по третьему признаку $$KLMN$$ — параллелограмм. Диагонали: $$KM = 4 + 4 = 8$$ см, $$LN = 6 + 6 = 12$$ см.

Ответ

Да; KM = 8 см, LN = 12 см

Средний Задача 3

В четырёхугольнике ABCD сторона AB параллельна CD, AB = CD, ∠A = 65°. Найдите остальные углы четырёхугольника.

Подсказка

Сначала определите вид четырёхугольника.

Решение

Стороны $$AB$$ и $$CD$$ равны и параллельны, поэтому по первому признаку $$ABCD$$ — параллелограмм. Противоположные углы равны: $\angle C = 65^\circ$ . Соседние углы в сумме дают $180^\circ$ : $\angle B = \angle D = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ .

Ответ

∠B = ∠D = 115°, ∠C = 65°

Средний Задача 4

Отрезки AC и BD пересекаются в их общей середине O. Докажите, что AB ∥ CD.

Подсказка

Соедините концы отрезков и посмотрите на получившийся четырёхугольник.

Решение

Дано: $$AO = OC$$ , $$BO = OD$$ , $$O$$ — точка пересечения $$AC$$ и $$BD$$ . Доказать: $AB \parallel CD$ .

В четырёхугольнике $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. По третьему признаку $$ABCD$$ — параллелограмм, а у параллелограмма противоположные стороны параллельны: $AB \parallel CD$ .

Ответ

Утверждение доказано: ABCD — параллелограмм

Сложный Задача 5

На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и M так, что AK = CM. Докажите, что четырёхугольник KBMD — параллелограмм.

Подсказка

Сравните отрезки KB и DM и вспомните, на каких прямых они лежат.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$K$$ на $$AB$$ , $$M$$ на $$CD$$ , $$AK = CM$$ . Доказать: $$KBMD$$ — параллелограмм.

$$AB = CD$$ как противоположные стороны, поэтому $$KB = AB - AK = CD - CM = MD$$ . Отрезки $$KB$$ и $$MD$$ лежат на параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ , значит, $KB \parallel MD$ . В четырёхугольнике $$KBMD$$ стороны $$KB$$ и $$MD$$ равны и параллельны — по первому признаку это параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано: KB = MD и KB ∥ MD

Сложный Задача 6

Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. На луче AM за точку M отложен отрезок MD = AM, AB = 7 см, AC = 10 см. Найдите периметр четырёхугольника ABDC.

Подсказка

Что можно сказать о диагоналях AD и BC четырёхугольника ABDC?

Решение

Дано

$$BM = MC$$
$$AM = MD$$
$$AB = 7$$ см
$$AC = 10$$ см

Найти

$P_{ABDC}$

Отрезки $$AD$$ и $$BC$$ — диагонали четырёхугольника $$ABDC$$ , они пересекаются в точке $$M$$ и делятся ею пополам. По третьему признаку $$ABDC$$ — параллелограмм. Его противоположные стороны равны: $$BD = AC = 10$$ см, $$DC = AB = 7$$ см. Периметр $$P = 2(7 + 10) = 34$$ см.

Ответ

34 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две одинаковые палочки и положите их параллельно со сдвигом — концы, соединённые нитками, всегда дают параллелограмм (признак 1). Затем скрестите две палочки разной длины так, чтобы они пересекались ровно серединами, и соедините концы — снова параллелограмм (признак 3).

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем признак отличается от свойства? 2) Достаточно ли, чтобы две стороны четырёхугольника были параллельны, а две другие равны? 3) Какой признак удобно проверить рулеткой, не измеряя углов?

На что обратить внимание. В доказательстве ребёнок должен называть номер признака или его формулировку. Самая частая потеря баллов — ссылка на свойство вместо признака.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 49	479, 480, 481, 482, 483, 484, 486, 496, 497, 498