Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 526

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, $\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ . Доказать: $$ABCD$$ — параллелограмм.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$ : $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 2(\angle A + \angle B) = 360^\circ$ , откуда $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .
Так же $\angle B + \angle C = \angle B + \angle A = 180^\circ$ .
Сумма углов, прилежащих к каждой из смежных сторон $$AB$$ и $$BC$$ , равна $180^\circ$ , поэтому по задаче 525 $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Из равенства противоположных углов и суммы 360° следует, что углы при каждой стороне дают 180°, а это признак из задачи 525.

Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).