Задача 1
Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что AD = AC/3.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AM\) — медиана, \(AK = KM\), прямая \(BK\) пересекает \(AC\) в точке \(D\). Доказать: \(AD = \dfrac{1}{3}AC\).
-
Проведём через \(M\) прямую, параллельную \(BD\); она пересечёт \(AC\) в точке \(N\).
-
На стороне \(BC\) угла \(C\) отрезки \(BM\) и \(MC\) равны, а прямые \(BD\) и \(MN\) параллельны. По теореме Фалеса (задача 488) они отсекают на \(CA\) равные отрезки: \(DN = NC\).
-
На стороне \(AM\) угла \(MAC\) отрезки \(AK\) и \(KM\) равны, а прямые \(KD\) и \(MN\) параллельны. По теореме Фалеса \(AD = DN\).
-
Итак, \(AD = DN = NC\), и \(AC = 3AD\), то есть \(AD = \dfrac{1}{3}AC\).
Ответ
Прямая через M, параллельная BK, вместе с BK делит AC на три равные части по теореме Фалеса.
Подробнее — в теме «Трапеция».