Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Подробное объяснение
Посмотрите на ведро сбоку, на абажур или на крышу дома с четырьмя скатами: их силуэт — четырёхугольник, у которого верх и низ параллельны, а бока сходятся. Это трапеция.
Определение и виды
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания, непараллельные — боковые стороны.
- Равнобедренная трапеция — боковые стороны равны.
- Прямоугольная трапеция — один из углов прямой (тогда прямой и соседний угол при той же боковой стороне, а боковая сторона перпендикулярна основаниям).
Основания трапеции не бывают равными: две равные и параллельные стороны по признаку параллелограмма дали бы параллелограмм.
Углы трапеции
Боковая сторона — секущая для параллельных оснований, поэтому углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают \(180^\circ\). Зная два угла при разных боковых сторонах, находим все четыре.
Равнобедренная трапеция
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны. Верно и обратное: если углы при основании равны или диагонали равны, трапеция равнобедренная. Главный приём для таких доказательств — провести через вершину меньшего основания прямую, параллельную боковой стороне. Она отрезает параллелограмм и треугольник, где удобно сравнивать стороны и углы.
Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме: \(m = \dfrac{a + b}{2}\). Например, у трапеции с основаниями 4 см и 10 см средняя линия 7 см — ровно посередине между ними.
Теорема Фалеса
Если на одной прямой отложить подряд несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые до пересечения со второй прямой, то на второй прямой тоже получатся равные отрезки. Между двумя соседними параллельными прямыми образуются трапеции (или параллелограммы), и равенство отрезков следует из свойства средней линии треугольника. Теорема позволяет разделить любой отрезок на \(n\) равных частей циркулем и линейкой: отложить \(n\) равных отрезков на вспомогательном луче и провести параллельные прямые.
Как решать задачи
- Найдите основания — параллельные стороны — и отметьте углы при каждой боковой стороне: их сумма \(180^\circ\).
- Если трапеция равнобедренная, отметьте равные углы при основаниях и равные диагонали.
- Если не хватает данных, проведите через вершину меньшего основания прямую, параллельную боковой стороне (или диагонали), — получатся параллелограмм и треугольник.
- Для средней линии используйте \(m = \dfrac{a + b}{2}\) в обе стороны: по основаниям найти \(m\) или по \(m\) и одному основанию — другое.
Разобранные примеры
Углы прямоугольной трапеции
В прямоугольной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) угол \(A\) прямой, угол \(D\) равен \(48^\circ\). Найдите остальные углы.
- \(AD \parallel BC\)
- \(\angle A = 90^\circ\)
- \(\angle D = 48^\circ\)
- \(\angle B\)
- \(\angle C\)
Углы при боковой стороне \(AB\) в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Углы при боковой стороне \(CD\): \(\angle C = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ\).
Основания по средней линии
Средняя линия трапеции равна 11 см, одно основание на 6 см больше другого. Найдите основания.
- \(m = 11\) см
- \(b - a = 6\) см
- \(a\)
- \(b\)
Сумма оснований \(a + b = 2m = 22\) см. Пусть \(a = x\), тогда \(b = x + 6\) и \(2x + 6 = 22\), \(x = 8\). Основания 8 см и 14 см.
Деление отрезка на 3 равные части
Разделите отрезок \(AB\) на 3 равные части с помощью циркуля и линейки.
- Из точки \(A\) проведём луч \(AX\), не лежащий на прямой \(AB\).
- Циркулем отложим на нём подряд три равных отрезка \(AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3\).
- Проведём прямую \(A_3B\), а через \(A_1\) и \(A_2\) — прямые, параллельные \(A_3B\). Они пересекут \(AB\) в точках \(B_1\) и \(B_2\).
- По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на \(AB\) равные отрезки: \(AB_1 = B_1B_2 = B_2B\).
Типичные ошибки
\(180^\circ\) в сумме дают углы, прилежащие к боковой стороне (односторонние при параллельных основаниях). Углы при одном основании, например \(A\) и \(D\), в сумме могут давать что угодно.
Пары с суммой \(180^\circ\) — это \(A\) и \(B\), \(C\) и \(D\) при основаниях \(AD\) и \(BC\). Подпишите основания на чертеже, прежде чем считать.
Средняя линия лежит «посередине» между основаниями, поэтому она больше меньшего основания и меньше большего. Сумма и разность этому не подходят.
\(m = \dfrac{a + b}{2}\) — среднее арифметическое оснований. Проверка: ответ между двумя основаниями.
Равные углы при основании и равные диагонали бывают только у равнобедренной трапеции. У прямоугольной трапеции, например, углы при основании разные.
Пользуйтесь этими свойствами, только если в условии сказано, что боковые стороны равны (или это доказано).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой четырёхугольник называется трапецией?
Показать ответ
Ответ: А) У которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны
У трапеции параллельна ровно одна пара сторон — основания; если параллельны обе пары, это параллелограмм.
-
Основания трапеции 8 см и 20 см. Чему равна средняя линия в сантиметрах?
Показать ответ
Ответ: 14
Средняя линия равна полусумме оснований, \((8 + 20) \div 2 = 14\) см.
-
Какие утверждения верны для любой равнобедренной трапеции?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Углы при каждом основании равны; Б) Диагонали равны; Г) Сумма углов при боковой стороне равна 180°
Основания трапеции не могут быть равны — иначе по признаку 1 получился бы параллелограмм.
-
Один из углов равнобедренной трапеции равен 75°. Сколько градусов в её тупом угле?
Показать ответ
Ответ: 105
Угол при той же боковой стороне дополняет его до \(180^\circ\): \(180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
-
Что утверждает теорема Фалеса?
Показать ответ
Ответ: А) Параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной прямой, отсекают равные отрезки и на другой
Важно условие «равные отрезки на первой прямой»; тогда и на второй прямой отрезки равны между собой (но не обязательно равны отрезкам первой).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 50°, угол D равен 75°. Найдите углы B и C.
Подсказка
Углы, прилежащие к боковой стороне, — односторонние при параллельных основаниях.
Решение
Основания параллельны, поэтому углы при каждой боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\) (односторонние углы). \(\angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\), \(\angle C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
Ответ
Основания трапеции равны 6 см и 14 см. Найдите её среднюю линию.
Подсказка
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Решение
Средняя линия равна полусумме оснований: \(\dfrac{6 + 14}{2} = 10\) см.
Ответ
Средняя линия трапеции равна 12 см, одно из оснований 9 см. Найдите другое основание.
Подсказка
Сумма оснований в 2 раза больше средней линии.
Решение
- средняя линия \(m = 12\) см
- основание \(a = 9\) см
- основание \(b\)
\(m = \dfrac{a + b}{2}\), поэтому \(a + b = 2m = 24\) см и \(b = 24 - 9 = 15\) см.
Ответ
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол B на 40° больше угла A. Найдите все углы трапеции.
Подсказка
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Решение
- \(AB = CD\)
- \(AD \parallel BC\)
- \(\angle B - \angle A = 40^\circ\)
- углы трапеции
Углы \(A\) и \(B\) прилежат к боковой стороне \(AB\), поэтому \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Вместе с условием: \(2\angle A = 140^\circ\), \(\angle A = 70^\circ\), \(\angle B = 110^\circ\). Углы при основании равнобедренной трапеции равны: \(\angle D = \angle A = 70^\circ\), \(\angle C = \angle B = 110^\circ\).
Ответ
В равнобедренной трапеции меньшее основание 5 см, боковая сторона 7 см, острый угол 60°. Найдите большее основание и периметр.
Подсказка
Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную боковой стороне.
Решение
- \(ABCD\)
- \(BC = 5\) см
- \(AB = CD = 7\) см
- \(\angle A = \angle D = 60^\circ\)
- \(AD\)
- \(P\)
Через \(C\) проведём \(CE \parallel AB\), \(E\) на \(AD\). \(ABCE\) — параллелограмм, поэтому \(AE = BC = 5\) см и \(CE = AB = 7\) см. Угол \(CED\) равен углу \(A\) как соответственный, \(\angle CED = 60^\circ\), и \(\angle D = 60^\circ\). Треугольник \(CED\) имеет два угла по \(60^\circ\), значит, он равносторонний: \(ED = CD = 7\) см. \(AD = 5 + 7 = 12\) см, \(P = 5 + 7 + 12 + 7 = 31\) см.
Ответ
Стороны угла пересечены параллельными прямыми. На одной стороне от вершины отложены отрезки OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = 4 см, параллельные прямые через A₁, A₂, A₃ отсекают на другой стороне отрезок OB₁ = 5 см. Найдите OB₃.
Подсказка
Примените теорему Фалеса.
Решение
По теореме Фалеса параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной стороне угла, отсекают равные отрезки и на другой: \(OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = 5\) см. Тогда \(OB_3 = 3 \cdot 5 = 15\) см.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Положите на стол две линейки параллельно и соедините их концы двумя карандашами под разными углами — получится трапеция. Отметьте середины карандашей и соедините их ниткой: нитка ляжет параллельно линейкам, а её длина будет средним арифметическим длин линеек. Для теоремы Фалеса подойдёт тетрадь в линейку: строчки параллельны и равноотстоят, поэтому любой наклонный отрезок они делят на равные части.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем трапеция отличается от параллелограмма? 2) Основания 3 см и 9 см — чему равна средняя линия? 3) Как разделить отрезок на 5 равных частей, если его длину нельзя разделить на 5 нацело?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно находить основания трапеции: от этого зависят все пары углов. Приём «провести прямую, параллельную боковой стороне» — ключевой для большинства задач.