Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 528

Задача 1

Условие (кратко)

Точки M и N — середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$AM = MD$$ , $$BN = NC$$ ; $$AN$$ пересекает $$BD$$ в точке $$P$$ , $$MC$$ пересекает $$BD$$ в точке $$Q$$ . Доказать: $$BP = PQ = QD$$ .

$$AM = NC$$ (половины равных сторон) и $AM \parallel NC$ , поэтому $$AMCN$$ — параллелограмм и $AN \parallel MC$ .
На стороне $$BC$$ угла $$CBD$$ отрезки $$BN$$ и $$NC$$ равны, а прямые $$NP$$ и $$CQ$$ параллельны. По теореме Фалеса (задача 488) $$BP = PQ$$ .
На стороне $$DA$$ угла $$ADB$$ отрезки $$DM$$ и $$MA$$ равны, а прямые $$MQ$$ и $$AP$$ параллельны. По теореме Фалеса $$DQ = QP$$ .
Итак, $$BP = PQ = QD$$ .

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Прямые AN и MC параллельны, и теорема Фалеса для углов B и D даёт три равных отрезка диагонали.

Подробнее — в теме «Трапеция».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).