Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 529

Задача 1

Условие (кратко)

Из вершины B ромба ABCD проведены перпендикуляры BK и BM к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD — биссектриса угла KBM.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — ромб, $BK \perp AD$ , $BM \perp DC$ . Доказать: $\angle KBD = \angle MBD$ .

Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому $\angle BDK = \angle BDM$ .
Прямоугольные треугольники $$BKD$$ и $$BMD$$ равны по гипотенузе и острому углу: гипотенуза $$BD$$ общая, $\angle BDK = \angle BDM$ .
Значит, $\angle KBD = \angle MBD$ . Точки $$K$$ и $$M$$ лежат по разные стороны от прямой $$BD$$ (на прямых $$AD$$ и $$DC$$ ), поэтому луч $$BD$$ проходит внутри угла $$KBM$$ и делит его пополам.

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Треугольники BKD и BMD равны по гипотенузе и острому углу, так как диагональ BD — биссектриса угла D ромба.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).