Какой параллелограмм называют ромбом?

Параллелограмм, у которого все углы прямые

Параллелограмм, у которого диагонали равны

Любой четырёхугольник с равными сторонами, кроме квадрата

Какие утверждения верны для любого ромба?

Диагонали делят его углы пополам

Какие из фигур являются квадратами?

Прямоугольник с равными соседними сторонами

Четырёхугольник с равными перпендикулярными диагоналями

Ромб и квадрат — 8 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Прямоугольник

Коротко о главном

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Его диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Квадрат — прямоугольник с равными сторонами; он одновременно и прямоугольник, и ромб, поэтому у него есть свойства обоих.

\text{ромб: } AC \perp BD, \quad \angle BAC = \angle DAC

Подробное объяснение

Сложите из четырёх одинаковых спичек квадрат, а потом слегка надавите на угол. Стороны остались равными, а фигура «сплющилась» — получился ромб. Обе фигуры — родственники параллелограмма, и у каждой есть своё особое свойство.

Ромб

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны. Значит, у ромба есть все свойства параллелограмма: противоположные углы равны, соседние в сумме дают $180^\circ$ , диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Особое свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Почему. Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба $$ABCD$$ . Треугольник $$BAD$$ равнобедренный, потому что $$AB = AD$$ . Точка $$O$$ — середина $$BD$$ , значит, $$AO$$ — медиана, проведённая к основанию. В равнобедренном треугольнике такая медиана является и высотой, и биссектрисой. Отсюда $AC \perp BD$ и $\angle BAC = \angle DAC$ . Так же рассуждаем для остальных вершин.

Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Во многих задачах удобно работать именно с одним из них.

Признаки ромба

Чтобы узнать ромб, достаточно знать, что фигура — параллелограмм, и выполнено одно из условий:

диагонали взаимно перпендикулярны;
диагональ делит угол пополам;
две соседние стороны равны.

Доказательства первых двух признаков — задачи к этому пункту.

Квадрат

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник — параллелограмм, а параллелограмм с равными сторонами — ромб. Поэтому квадрат обладает свойствами и прямоугольника, и ромба:

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы квадрата пополам — по $45^\circ$ .

Квадратом окажется ромб с прямым углом, прямоугольник с перпендикулярными диагоналями, ромб с равными диагоналями.

Как решать задачи

В ромбе сразу отметьте прямой угол между диагоналями и равные половинки углов.
Ищите равносторонние треугольники: если угол ромба $60^\circ$ , короткая диагональ равна стороне.
Чтобы доказать, что фигура — ромб или квадрат, сначала докажите, что это параллелограмм, затем примените признак.
В квадрате углы между диагональю и сторонами всегда по $45^\circ$ .

Разобранные примеры

База

Углы треугольника внутри ромба

Условие

В ромбе $$ABCD$$ угол $$A$$ равен $40^\circ$ , $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Найдите углы треугольника $$AOB$$ .

Дано

$$ABCD$$ — ромб
$\angle A = 40^\circ$

Найти

углы $\triangle AOB$

Решение

Диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам: $\angle OAB = 20^\circ$ . Диагонали перпендикулярны: $\angle AOB = 90^\circ$ . Тогда $\angle ABO = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$ .

Ответ: ∠OAB = 20°, ∠AOB = 90°, ∠ABO = 70°

Средний

Периметр по диагонали

Условие

В ромбе $$ABCD$$ угол $$B$$ равен $120^\circ$ , диагональ $$BD = 9$$ см. Найдите периметр ромба.

Дано

$\angle B = 120^\circ$
$$BD = 9$$ см

Найти

$$P$$

Решение

Соседний угол $\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ . Треугольник $$ABD$$ равнобедренный ( $$AB = AD$$ ) с углом $60^\circ$ при вершине, значит, равносторонний: $$AB = BD = 9$$ см. Периметр $P = 4 \cdot 9 = 36$ см.

Ответ: 36 см

Сложный

Когда прямоугольник становится квадратом

Условие

Диагональ $$AC$$ прямоугольника $$ABCD$$ делит угол $$A$$ пополам. Докажите, что $$ABCD$$ — квадрат.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — прямоугольник, $\angle BAC = \angle CAD$ . Доказать: $$ABCD$$ — квадрат.

Углы $$CAD$$ и $$ACB$$ накрест лежащие при $AD \parallel BC$ и секущей $$AC$$ , поэтому $\angle ACB = \angle CAD = \angle BAC$ . В треугольнике $$ABC$$ два угла равны, значит, $$AB = BC$$ . Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому все четыре стороны равны, и прямоугольник — квадрат.

Ответ: Доказано: ABCD — квадрат

Типичные ошибки

Думают, что диагонали ромба равны

Почему неверно

У «сплющенного» ромба одна диагональ длинная, другая короткая. Равны диагонали только у ромба с прямыми углами — квадрата.

Как правильно

Запомните пары: у прямоугольника диагонали равны, у ромба — перпендикулярны, у квадрата — и то и другое.

Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями считают ромбом

Почему неверно

У «воздушного змея» диагонали перпендикулярны, но одна делит другую пополам, а вторая первую — нет; стороны у него попарно равны, но не все. Это не ромб.

Как правильно

Признак ромба по диагоналям работает только для параллелограмма. Сначала покажите, что диагонали делятся пополам (или что противоположные стороны параллельны).

Делят пополам не тот угол

Почему неверно

В ромбе с углом $50^\circ$ ищут угол между большей диагональю и стороной и берут половину тупого угла: $130^\circ : 2 = 65^\circ$ . Но большая диагональ выходит из вершины острого угла.

Как правильно

Большая диагональ соединяет вершины острых углов и делит их пополам ( $25^\circ$ ), меньшая — вершины тупых ( $65^\circ$ ). Сделайте чертёж и посмотрите, из какой вершины выходит диагональ.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В ромбе ABCD угол A равен 70°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника AOB.

Подсказка

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Решение

Диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам: $\angle OAB = 70^\circ : 2 = 35^\circ$ . Диагонали перпендикулярны: $\angle AOB = 90^\circ$ . Третий угол $\angle ABO = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Ответ

∠OAB = 35°, ∠AOB = 90°, ∠ABO = 55°

База Задача 2

Периметр квадрата равен 36 см. Найдите его сторону и периметр ромба, у которого сторона такая же, как у квадрата.

Подсказка

У квадрата и ромба все четыре стороны равны.

Решение

Сторона квадрата $$a = 36 : 4 = 9$$ см. У ромба тоже четыре равные стороны по 9 см, поэтому его периметр $4 \cdot 9 = 36$ см.

Ответ

9 см; 36 см

Средний Задача 3

В ромбе ABCD диагональ BD образует со стороной AB угол 65°. Найдите углы ромба.

Подсказка

Диагональ BD делит угол B пополам.

Решение

Диагональ $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$ , поэтому $\angle ABC = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ$ . Соседний угол $\angle A = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ . Противоположные углы равны: $\angle C = 50^\circ$ , $\angle D = 130^\circ$ .

Ответ

∠A = ∠C = 50°, ∠B = ∠D = 130°

Средний Задача 4

Один из углов ромба равен 120°, меньшая диагональ равна 7 см. Найдите периметр ромба.

Подсказка

Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и отсекает треугольник с углом 60°.

Решение

Пусть $\angle B = 120^\circ$ , тогда $\angle A = 60^\circ$ . Меньшая диагональ $$BD$$ лежит против острого угла $$A$$ . Треугольник $$ABD$$ равнобедренный ( $$AB = AD$$ ) с углом $60^\circ$ при вершине — значит, равносторонний: $$AB = BD = 7$$ см. Периметр $P = 4 \cdot 7 = 28$ см.

Ответ

28 см

Сложный Задача 5

Докажите, что прямоугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями является квадратом.

Подсказка

Рассмотрите треугольники AOB и AOD.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — прямоугольник, $AC \perp BD$ , $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Доказать: $$ABCD$$ — квадрат.

Диагонали делятся пополам: $$BO = OD$$ . В треугольнике $$ABD$$ отрезок $$AO$$ — медиана и высота, поэтому треугольник равнобедренный: $$AB = AD$$ . Противоположные стороны прямоугольника равны, значит, $$AB = BC = CD = DA$$ . Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.

Ответ

Утверждение доказано: прямоугольник — квадрат

Сложный Задача 6

Сторона ромба ABCD равна 10 см, ∠A = 60°. Из вершины B к стороне AD проведён перпендикуляр BH. Найдите AH.

Подсказка

Какой треугольник ABD?

Решение

Треугольник $$ABD$$ равнобедренный ( $$AB = AD = 10$$ см) с углом $60^\circ$ — значит, равносторонний. Высота $$BH$$ равностороннего треугольника является и медианой, поэтому $$H$$ — середина $$AD$$ : $$AH = 10 : 2 = 5$$ см.

Ответ

AH = 5 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Сложите квадрат из четырёх одинаковых карандашей или счётных палочек и надавите на угол — получится ромб. Положите поверх две нитки по диагоналям: у ромба они разные, но пересекаются под прямым углом (проверьте уголком листа бумаги). У квадрата нитки ещё и одинаковые.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем ромб отличается от квадрата? 2) Почему квадрат можно назвать и прямоугольником, и ромбом? 3) Угол ромба $100^\circ$ — какие углы образует с его сторонами меньшая диагональ?

На что обратить внимание. Ребёнок часто путает, у какой фигуры диагонали равны, а у какой перпендикулярны. Попросите нарисовать три фигуры рядом и подписать свойства диагоналей у каждой.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 52	507, 508, 509, 510, 511, 512, 513, 514, 516, 517