Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 531

Условие (кратко)

Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$D$$ — точка стороны $$BC$$ , $$M$$ и $$N$$ — середины $$AB$$ и $$AC$$ , $$P$$ — середина $$AD$$ . Доказать: $$P$$ лежит на отрезке $$MN$$ .

$$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$ , поэтому $MN \parallel BC$ и $MN = \dfrac{1}{2}BC$ (задача 484).
В треугольнике $$ABD$$ проведём через середину $$M$$ стороны $$AB$$ прямую, параллельную $$BD$$ . По признаку средней линии (задача 485) она пересечёт $$AD$$ в его середине $$P$$ .
Через точку $$M$$ проходит только одна прямая, параллельная $$BC$$ . Значит, эта прямая — $$MN$$ , и точка $$P$$ лежит на прямой $$MN$$ .
$$MP$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$ , поэтому $MP = \dfrac{1}{2}BD \le \dfrac{1}{2}BC = MN$ . Точки $$P$$ и $$N$$ лежат по одну сторону от $$M$$ (от прямой $$AB$$ — там же, где $$C$$ и $$D$$ ), значит, $$P$$ лежит на отрезке $$MN$$ .

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Прямая через середину AB, параллельная BC, — это средняя линия MN, и по признаку средней линии она проходит через середину AD.

Подробнее — в теме «Трапеция».

Задание 531

Задача 1