Задача 1
Условие (кратко)
Диагональ AC квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая через A, перпендикулярная AC, пересекает прямые BC и CD в точках M и N. Найдите MN.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — квадрат
- \(AC = 18{,}4\) см
- \(MN \perp AC\)
- \(A \in MN\)
- \(M\) на прямой \(BC\)
- \(N\) на прямой \(CD\)
Найти
- \(MN\)
-
Диагональ квадрата делит его угол пополам: \(\angle ACB = \angle ACD = 45^\circ\).
-
В треугольнике \(ACM\) угол \(CAM\) прямой, \(\angle ACM = 45^\circ\), значит, \(\angle AMC = 45^\circ\), и треугольник равнобедренный: \(AM = AC = 18{,}4\) см.
-
Так же в треугольнике \(ACN\): \(AN = AC = 18{,}4\) см.
-
Точки \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от \(AC\), поэтому \(M\) и \(N\) — по разные стороны от \(A\), и \(MN = AM + AN = 2 \cdot 18{,}4 = 36{,}8\) см.
Ответ
MN = 36,8 см
Почему так
Треугольники ACM и ACN прямоугольные равнобедренные, поэтому AM = AN = AC, а MN = 2AC.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».