Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 533

Задача 1

Условие (кратко)

На диагонали AC квадрата ABCD взята точка M, AM = AB. Прямая через M, перпендикулярная AC, пересекает BC в точке H. Докажите, что BH = HM = MC.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — квадрат, $$M$$ на $$AC$$ , $$AM = AB$$ , $MH \perp AC$ , $$H$$ на $$BC$$ . Доказать: $$BH = HM = MC$$ .

Треугольники $$ABH$$ и $$AMH$$ прямоугольные ( $\angle ABH = 90^\circ$ — угол квадрата, $\angle AMH = 90^\circ$ по построению). У них гипотенуза $$AH$$ общая и катеты $$AB = AM$$ . Значит, они равны, и $$BH = HM$$ .
В треугольнике $$HMC$$ угол $$M$$ прямой, а $\angle MCH = 45^\circ$ (диагональ квадрата делит угол пополам). Значит, $\angle MHC = 45^\circ$ , треугольник равнобедренный: $$HM = MC$$ .
Итак, $$BH = HM = MC$$ .

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Равенство прямоугольных треугольников ABH и AMH даёт BH = HM, а треугольник HMC прямоугольный с углом 45°, поэтому HM = MC.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).