Задача 1
В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции 20 см, а ∠D = 60°.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(AD > BC\)
- \(AC \perp CD\)
- \(\angle BAC = \angle CAD\)
- \(\angle D = 60^\circ\)
- \(P = 20\) см
- \(AD\)
-
В прямоугольном треугольнике \(ACD\): \(\angle CAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Катет \(CD\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(CD = \dfrac{1}{2}AD\).
-
\(\angle BAC = \angle CAD = 30^\circ\), значит, \(\angle A = 60^\circ = \angle D\). Углы при основании равны, поэтому трапеция равнобедренная (задача 492, а): \(AB = CD\).
-
\(\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ\) (накрест лежащие при \(BC \parallel AD\)), то есть \(\angle BCA = \angle BAC\), и \(\triangle ABC\) равнобедренный: \(BC = AB\).
-
Пусть \(CD = x\). Тогда \(AB = BC = CD = x\), \(AD = 2x\), и \(P = 5x = 20\), откуда \(x = 4\) см, \(AD = 8\) см.
Ответ
Трапеция равнобедренная, три её стороны равны, а большее основание вдвое больше боковой стороны (катет против угла 30°).
Подробнее — в теме «Трапеция».