Задача 1
(Повышенной трудности.) Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\), \(\angle A + \angle D = 90^\circ\), \(M\) и \(N\) — середины \(BC\) и \(AD\). Доказать: \(MN = \dfrac{AD - BC}{2}\).
-
Так как \(\angle A + \angle D < 180^\circ\), прямые \(AB\) и \(DC\) пересекаются по ту же сторону от \(AD\), что и \(BC\), и \(BC\) — меньшее основание.
-
Проведём через \(M\) прямые \(MK \parallel AB\) и \(ML \parallel CD\) (\(K\) и \(L\) на \(AD\)). \(ABMK\) и \(MCDL\) — параллелограммы, поэтому \(AK = BM = \dfrac{BC}{2}\), \(LD = MC = \dfrac{BC}{2}\).
-
\(\angle MKL = \angle A\), \(\angle MLK = \angle D\) (соответственные углы), значит, в треугольнике \(KML\) \(\angle KML = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
-
\(KL = AD - AK - LD = AD - BC\), а \(KN = AN - AK = \dfrac{AD}{2} - \dfrac{BC}{2} = \dfrac{KL}{2}\). Значит, \(N\) — середина гипотенузы \(KL\), и \(MN\) — медиана прямоугольного треугольника \(KML\).
-
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине (свойство 4°, п. 35): \(MN = \dfrac{KL}{2} = \dfrac{AD - BC}{2}\).
Ответ
Прямые через середину меньшего основания, параллельные боковым сторонам, дают прямоугольный треугольник, а MN — его медиана к гипотенузе AD − BC.
Подробнее — в теме «Трапеция».