Задача 1
(Повышенной трудности.) На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины, вдвое больше медианы из этой вершины.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(ABPE\) и \(ACQF\) — квадраты, построенные вне треугольника, \(AM\) — медиана. Доказать: \(EF = 2AM\).
-
Отложим на продолжении медианы \(AM\) за точку \(M\) отрезок \(MD = AM\) (точка \(D\) симметрична \(A\) относительно середины \(M\) стороны \(BC\)). Диагонали четырёхугольника \(ABDC\) делятся точкой \(M\) пополам, значит, это параллелограмм: \(BD = AC\), \(AD = 2AM\), \(\angle ABD = 180^\circ - \angle BAC\).
-
Около вершины \(A\) углы \(BAE\), \(CAF\) (по \(90^\circ\)), \(BAC\) и \(EAF\) составляют полный угол, поэтому \(\angle EAF = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \angle BAC\).
-
В треугольниках \(ABD\) и \(EAF\): \(AB = EA\) (стороны квадрата), \(BD = AC = AF\), \(\angle ABD = \angle EAF\). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
-
Значит, \(EF = AD = 2AM\).
В указании учебника точка \(D\) названа симметричной \(A\) «относительно стороны \(BC\)»; имеется в виду симметрия относительно середины стороны \(BC\): при осевой симметрии было бы \(BD = AB\), а не \(BD = AC\), и равенство \(\triangle ABD = \triangle EAF\) не получилось бы.
Ответ
Достроим треугольник до параллелограмма ABDC; треугольник ABD равен треугольнику EAF, поэтому EF равен удвоенной медиане.
Подробнее — в теме «Параллелограмм».