Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 537

Условие (кратко)

Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — ромб, $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Доказать: прямые $$AC$$ и $$BD$$ — оси симметрии ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: $AC \perp BD$ , $$BO = OD$$ . Значит, прямая $$AC$$ — серединный перпендикуляр к $$BD$$ , и точки $$B$$ и $$D$$ симметричны относительно $$AC$$ .
Точки $$A$$ и $$C$$ лежат на прямой $$AC$$ и при симметрии относительно неё остаются на месте.
При осевой симметрии отрезок переходит в отрезок между образами концов. Поэтому сторона $$AB$$ переходит в $$AD$$ , $$BC$$ — в $$DC$$ , $$CD$$ — в $$CB$$ , $$DA$$ — в $$BA$$ : ромб переходит сам в себя. Значит, $$AC$$ — его ось симметрии.
Так же точки $$A$$ и $$C$$ симметричны относительно $$BD$$ , и прямая $$BD$$ — тоже ось симметрии.

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Каждая диагональ ромба — серединный перпендикуляр к другой, поэтому симметрия относительно неё меняет местами две вершины и переводит ромб в себя.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».

Задание 537