Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VI, задание 538

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Доказать: $$O$$ — центр симметрии параллелограмма.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: $$AO = OC$$ , $$BO = OD$$ . Значит, $$A$$ и $$C$$ , а также $$B$$ и $$D$$ симметричны относительно $$O$$ .
При центральной симметрии отрезок переходит в отрезок между образами концов. Поэтому $$AB$$ переходит в $$CD$$ , $$BC$$ — в $$DA$$ , $$CD$$ — в $$AB$$ , $$DA$$ — в $$BC$$ .
Каждая сторона переходит в сторону того же параллелограмма, то есть параллелограмм переходит сам в себя. Значит, $$O$$ — его центр симметрии.

Ответ

Утверждение доказано

Почему так

Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому противоположные вершины симметричны относительно O, а стороны переходят в противоположные стороны.

Подробнее — в теме «Центральная симметрия».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).