Точки A и A₁ симметричны относительно точки O. Что это означает?

O — середина отрезка AA₁

O лежит на серединном перпендикуляре к AA₁

OA = OA₁, а точки A, O, A₁ могут не лежать на одной прямой

AA₁ перпендикулярен прямой, проходящей через O

Какие фигуры имеют центр симметрии?

Равносторонний треугольник

Равнобедренная трапеция

Центральная симметрия — 8 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Параллелограмм

Коротко о главном

Точки $$A$$ и $$A_1$$ симметричны относительно точки $$O$$ , если $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$ . Фигура симметрична относительно точки $$O$$ (имеет центр симметрии), если для каждой её точки симметричная точка тоже принадлежит фигуре. Центр симметрии есть у окружности, параллелограмма, прямой; у треугольника его нет.

A \to A_1 \text{ относительно } O \iff AO = OA_1, \; O \in AA_1

Подробное объяснение

Переверните игральную карту «вверх ногами» — картинка не изменится: верхняя половина займёт место нижней. Так выглядит центральная симметрия: фигура совмещается сама с собой при повороте на пол-оборота вокруг точки.

Симметричные точки

В 7 классе вы изучали осевую симметрию — «отражение в зеркале» относительно прямой. Центральная симметрия — отражение относительно точки.

Слева точки A и A₁, M и M₁ симметричны относительно O — точка O делит отрезки AA₁ и MM₁ пополам. Справа параллелограмм ABCD, точка M на AB и симметричная ей M₁ на CD; центр O — пересечение диагоналей. — Симметричные точки лежат на одной прямой с центром по разные стороны от него и на равных расстояниях.

Точки $$A$$ и $$A_1$$ называются симметричными относительно точки $$O$$ , если $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$ . Сама точка $$O$$ считается симметричной себе.

Чтобы построить точку, симметричную $$A$$ , проведите луч $$AO$$ и отложите за точкой $$O$$ отрезок $$OA_1 = OA$$ . Два условия обязательны: точки лежат на одной прямой с $$O$$ , по разные стороны от неё, и на равных расстояниях. Если $$OP = OQ$$ , но $$P$$ , $$O$$ , $$Q$$ не на одной прямой, — симметрии нет.

На координатной плоскости симметрия относительно начала координат меняет знаки обеих координат: точка $$(3; -2)$$ переходит в $$(-3; 2)$$ .

Центр симметрии фигуры

Фигура называется симметричной относительно точки $$O$$ , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка тоже принадлежит фигуре. Точку $$O$$ называют центром симметрии, а про фигуру говорят, что она обладает центральной симметрией.

Примеры:

окружность — центр симметрии в её центре: диаметр, проведённый через любую точку окружности, заканчивается симметричной точкой;
параллелограмм (а значит, и прямоугольник, ромб, квадрат) — центр симметрии в точке пересечения диагоналей, ведь диагонали делятся этой точкой пополам;
прямая — центров симметрии бесконечно много, подходит любая её точка.

У окружности и параллелограмма центр симметрии один. У произвольного треугольника центра симметрии нет: при повороте на пол-оборота он «смотрит» вершиной в другую сторону. Даже у равностороннего треугольника есть три оси симметрии, но нет центра.

Чем центральная симметрия отличается от осевой

При осевой симметрии отрезок $$AA_1$$ перпендикулярен оси и делится ею пополам. При центральной — отрезок $$AA_1$$ проходит через центр и делится им пополам, а направление может быть любым. Центральная симметрия сохраняет длины отрезков и переводит прямую в параллельную ей прямую.

Как решать задачи

Нужно построить симметричную точку — проведите прямую через точку и центр и отложите равный отрезок по другую сторону от центра.
Нужно доказать, что точки симметричны, — докажите, что центр лежит на отрезке между ними и делит его пополам (часто через равные треугольники с вертикальными углами).
Ищете центр симметрии фигуры — проверьте середины отрезков, соединяющих «парные» точки: у параллелограмма это точка пересечения диагоналей.

Разобранные примеры

База

Построение симметричной точки

Условие

Даны точки $$A$$ и $$O$$ . Постройте точку $$A_1$$ , симметричную точке $$A$$ относительно $$O$$ .

Решение

Дано: точки $$A$$ и $$O$$ . Построить: $$A_1$$ , где $$O$$ — середина $$AA_1$$ .

Проведите прямую $$AO$$ .
Циркулем с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$ проведите окружность.
Она пересечёт прямую $$AO$$ ещё в одной точке — это $$A_1$$ . Тогда $$OA_1 = OA$$ , и $$O$$ — середина $$AA_1$$ .

Ответ: A₁ — вторая точка пересечения прямой AO с окружностью радиуса OA с центром O

Средний

Симметрия на координатной плоскости

Условие

Найдите координаты точки, симметричной точке $$A(-4; 1)$$ относительно точки $$O(1; 2)$$ .

Дано

$$A(-4; 1)$$
$$O(1; 2)$$

Найти

$$A_1$$

Решение

Чтобы попасть из $$A$$ в $$O$$ , сдвигаемся на 5 единиц вправо и на 1 вверх. Точка $$O$$ — середина отрезка, поэтому от $$O$$ до $$A_1$$ — тот же сдвиг: $$A_1(1 + 5; 2 + 1) = A_1(6; 3)$$ .

Ответ: A₁(6; 3)

Сложный

Центр симметрии параллелограмма

Условие

Докажите, что точка $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ — его центр симметрии: точка, симметричная любой точке $$M$$ стороны $$AB$$ , лежит на стороне $$CD$$ .

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения диагоналей, $M \in AB$ . Доказать: точка $$M_1$$ , симметричная $$M$$ , лежит на $$CD$$ .

Пусть прямая $$MO$$ пересекает $$CD$$ в точке $$N$$ . Треугольники $$AOM$$ и $$CON$$ равны: $$AO = OC$$ , $\angle OAM = \angle OCN$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ ), $\angle AOM = \angle CON$ (вертикальные). Отсюда $$OM = ON$$ , и $$N$$ лежит на продолжении $$MO$$ за точку $$O$$ — значит, $$N$$ и есть $$M_1$$ . Для точек остальных сторон рассуждение такое же.

Ответ: Доказано: O — центр симметрии параллелограмма

Типичные ошибки

Путают центральную симметрию с осевой

Почему неверно

Строят точку, симметричную относительно $$O$$ , проводя перпендикуляр к какой-то прямой через $$O$$ . Но при центральной симметрии никакой прямой нет — только точка-центр.

Как правильно

Соедините точку с центром и продолжите отрезок за центр на такую же длину. Перпендикуляры здесь не нужны.

Приписывают центр симметрии треугольнику

Почему неверно

У равнобедренного и равностороннего треугольников есть оси симметрии, и кажется, что центр тоже есть. Но при повороте на пол-оборота вокруг любой точки вершина треугольника переходит туда, где треугольника нет.

Как правильно

Проверяйте поворотом на $180^\circ$ : фигура должна совпасть сама с собой. Треугольник этого не выдерживает, параллелограмм выдерживает.

Откладывают отрезок не в ту сторону

Почему неверно

Если отложить $$OA_1 = OA$$ на луче $$OA$$ , точка $$A_1$$ совпадёт с $$A$$ . А если взять равный отрезок под углом — нарушится условие «на одной прямой».

Как правильно

Точка $$A_1$$ лежит на продолжении отрезка $$AO$$ за точку $$O$$ , по другую сторону от центра.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Точки A и A₁ симметричны относительно точки O, AO = 4,5 см. Найдите длину отрезка AA₁.

Подсказка

Где лежит точка O на отрезке AA₁?

Решение

Точка $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$ , поэтому $OA_1 = OA = 4{,}5$ см и $AA_1 = 2 \cdot 4{,}5 = 9$ см.

Ответ

9 см

База Задача 2

Какие из заглавных печатных букв Н, О, Ж, Т, Х, А, И имеют центр симметрии?

Подсказка

Поверните букву на пол-оборота вокруг её середины — совпадёт ли она сама с собой?

Решение

Фигура имеет центр симметрии, если при повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки она совмещается сама с собой. Это выполняется для букв Н, О, Ж, Х, И (центр — середина буквы). Буквы Т и А после поворота оказываются «вверх ногами» — центра симметрии у них нет, есть только ось.

Ответ

Н, О, Ж, Х, И

Средний Задача 3

На координатной плоскости даны точки A(3; −2) и B(−5; 0). Найдите координаты точек, симметричных им относительно начала координат O.

Подсказка

Начало координат должно быть серединой отрезка между точкой и её образом.

Решение

Если $$O(0; 0)$$ — середина отрезка $$AA_1$$ , то координаты $$A_1$$ противоположны координатам $$A$$ : $$A_1(-3; 2)$$ . Так же $$B_1(5; 0)$$ .

Ответ

A₁(−3; 2), B₁(5; 0)

Средний Задача 4

O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Прямая, проходящая через O, пересекает сторону AB в точке M, а сторону CD — в точке N, AM = 3 см. Найдите CN.

Подсказка

Точки M и N симметричны относительно центра симметрии параллелограмма.

Решение

Треугольники $$AOM$$ и $$CON$$ равны: $$AO = OC$$ (диагонали делятся пополам), $\angle OAM = \angle OCN$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ ), $\angle AOM = \angle CON$ (вертикальные). Значит, $$CN = AM = 3$$ см. Точки $$M$$ и $$N$$ симметричны относительно $$O$$ .

Ответ

CN = 3 см

Сложный Задача 5

Отрезок A₁B₁ симметричен отрезку AB относительно точки O, не лежащей на прямой AB. Докажите, что A₁B₁ = AB и A₁B₁ ∥ AB.

Подсказка

Сравните треугольники AOB и A₁OB₁.

Решение

Дано: $$O$$ — середина $$AA_1$$ и $$BB_1$$ . Доказать: $$A_1B_1 = AB$$ , $A_1B_1 \parallel AB$ .

Треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$OA = OA_1$$ , $$OB = OB_1$$ , $\angle AOB = \angle A_1OB_1$ как вертикальные. Отсюда $$AB = A_1B_1$$ и $\angle OAB = \angle OA_1B_1$ . Эти углы накрест лежащие при прямых $$AB$$ , $$A_1B_1$$ и секущей $$AA_1$$ , поэтому $AB \parallel A_1B_1$ .

Ответ

Утверждение доказано: A₁B₁ = AB и A₁B₁ ∥ AB

Сложный Задача 6

Сколько центров симметрии у фигуры, состоящей из двух параллельных прямых? Где они лежат?

Подсказка

Центр симметрии должен переводить одну прямую в другую — на каком расстоянии от них он находится?

Решение

Центр $$O$$ не может лежать на одной из прямых: тогда другая перешла бы в прямую по другую сторону от неё, а не в саму фигуру. Значит, точка $$A$$ первой прямой переходит в точку второй прямой, и $$O$$ — середина отрезка между ними, то есть $$O$$ лежит посередине между прямыми. Обратно, любая точка $$O$$ прямой, проходящей посередине между данными и параллельной им, — центр симметрии: для каждой точки $$A$$ первой прямой точка $$A_1$$ на продолжении $$AO$$ с $$OA_1 = OA$$ лежит на второй прямой (это следует из равенства треугольников, как в задаче о параллелограмме). Центров бесконечно много.

Ответ

Бесконечно много — все точки прямой, проходящей посередине между данными параллельно им

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол лист с нарисованной буквой «Н» или «И» и поверните лист на пол-оборота, придерживая пальцем его середину. Буква выглядит так же — у неё есть центр симметрии. С буквой «Т» так не получится. Затем отметьте точку и центр, приложите линейку и покажите: симметричная точка — на той же прямой, по другую сторону, на том же расстоянии.

Вопросы для проверки понимания: 1) Как построить точку, симметричную данной относительно точки $$O$$ ? 2) Где центр симметрии у прямоугольника? 3) Почему у треугольника нет центра симметрии?

На что обратить внимание. Важно не смешивать два вида симметрии: осевая — «зеркало» относительно прямой, центральная — поворот на пол-оборота вокруг точки. Хорошая проверка — попросить назвать фигуру, у которой есть ось симметрии, но нет центра (равнобедренный треугольник).

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 53	519