Задача 1
Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?
Решение
- \(a \parallel b\)
- число центров симметрии фигуры из двух прямых \(a\) и \(b\)
-
Проведём прямую \(c\), параллельную \(a\) и \(b\) и равноудалённую от них (она проходит через середины отрезков, соединяющих точки \(a\) и \(b\)). Возьмём на ней любую точку \(O\).
-
Проведём через \(O\) перпендикуляр к прямым; он пересечёт \(a\) в точке \(A\), \(b\) в точке \(B\), причём \(OA = OB\).
-
Пусть \(X\) — любая точка прямой \(a\), \(X'\) — симметричная ей относительно \(O\). Треугольники \(OAX\) и \(OBX'\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(OA = OB\), \(OX = OX'\), углы при \(O\) вертикальные). Значит, \(\angle OBX' = \angle OAX = 90^\circ\), и \(X'\) лежит на прямой, проходящей через \(B\) перпендикулярно \(AB\), то есть на \(b\). Так же точки \(b\) переходят в точки \(a\).
-
Итак, каждая точка прямой \(c\) — центр симметрии пары прямых, а таких точек бесконечно много.
Ответ
Симметрия относительно любой точки средней параллельной прямой меняет данные прямые местами.
Подробнее — в теме «Центральная симметрия».