Задача 1
(Повышенной трудности.) Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.
Решение
Дано: \(a\) и \(b\) — оси симметрии фигуры \(F\), \(a \perp b\), \(O\) — точка их пересечения. Доказать: \(O\) — центр симметрии фигуры \(F\).
-
Возьмём любую точку \(M\) фигуры. Пусть \(M_1\) симметрична \(M\) относительно \(a\), а \(M_2\) симметрична \(M_1\) относительно \(b\). Так как \(a\) и \(b\) — оси симметрии, \(M_1\) и \(M_2\) тоже принадлежат фигуре.
-
Докажем, что \(M\) и \(M_2\) симметричны относительно \(O\). Если \(M\) совпадает с \(O\), то \(M_1 = M_2 = O\). Иначе: ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку между симметричными точками, а \(O\) лежит на обеих осях, поэтому \(OM = OM_1 = OM_2\).
-
Ось \(a\) делит угол \(MOM_1\) пополам, ось \(b\) — угол \(M_1OM_2\). Если \(\varphi\) — угол между лучом \(OM_1\) и осью \(a\), то угол между \(OM_1\) и осью \(b\) равен \(90^\circ - \varphi\). Тогда \(\angle MOM_2 = 2\varphi + 2(90^\circ - \varphi) = 180^\circ\) (когда \(M\) лежит на одной из осей, один из углов равен нулю, и равенство сохраняется).
-
Значит, \(M\), \(O\), \(M_2\) лежат на одной прямой, \(O\) между ними и \(OM = OM_2\): точки \(M\) и \(M_2\) симметричны относительно \(O\).
-
Для любой точки \(M\) фигуры симметричная ей относительно \(O\) точка \(M_2\) тоже принадлежит фигуре, поэтому \(O\) — центр симметрии.
Ответ
Две симметрии относительно перпендикулярных осей подряд — это симметрия относительно точки их пересечения, поэтому фигура переходит в себя.
Подробнее — в теме «Центральная симметрия».