Задача 1
Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = BC = a\), \(CH\) — высота, \(CH = h\). Доказать: \(a^2 = 2h^2\).
-
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \(S_{ABC} = \dfrac{a^2}{2}\).
-
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и биссектрисой, поэтому \(\angle ACH = \angle BCH = 45^\circ\). В треугольниках \(ACH\) и \(BCH\) угол \(H\) прямой, а углы \(A\) и \(B\) равны \(45^\circ\), значит, оба треугольника равнобедренные: \(AH = CH = h\), \(BH = CH = h\).
-
Каждый из них — прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \(h\), его площадь \(\dfrac{h^2}{2}\). Вместе они составляют \(\triangle ABC\): \(S_{ABC} = \dfrac{h^2}{2} + \dfrac{h^2}{2} = h^2\).
-
Приравниваем: \(\dfrac{a^2}{2} = h^2\), то есть \(a^2 = 2h^2\). Площадь квадрата на катете равна \(a^2\), на высоте — \(h^2\), и первая вдвое больше второй.
Ответ
Площадь треугольника считаем двумя способами — через катеты и как сумму двух половинок, на которые его делит высота.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».