Как изменится площадь треугольника, если основание увеличить в 3 раза, а высоту к нему оставить прежней?

Увеличится в 3 раза

Увеличится в 6 раз

Увеличится в 9 раз

Медиана BM делит треугольник ABC на два треугольника. Что верно?

У них общая высота из вершины B

Площадь каждого — половина площади ABC

Они всегда равны друг другу как фигуры

У тупоугольного треугольника высота, проведённая к меньшей стороне, лежит вне треугольника. Как найти площадь?

По той же формуле S = ½ah

Формула S = ½ah не работает, нужен другой способ

Умножить сторону на высоту без половины

Взять высоту к другой стороне

Площадь треугольника — 8 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Площадь параллелограмма

Коротко о главном

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Для прямоугольного треугольника — половина произведения катетов.

S = \frac{1}{2}a \cdot h

Подробное объяснение

Разрежьте прямоугольный лист бумаги по диагонали — получится два одинаковых треугольника, и площадь каждого — половина прямоугольника. Оказывается, так можно получить любой треугольник: он всегда половина некоторого параллелограмма.

Основание и высота треугольника

Любую сторону треугольника можно выбрать основанием. Тогда высота — перпендикуляр из противолежащей вершины к прямой, содержащей основание. У остроугольного треугольника высота лежит внутри. Если угол при основании тупой, высота падает на продолжение основания — формула от этого не меняется.

Два треугольника ABC с основанием AB. В левом высота CH падает внутрь основания. В правом угол B тупой, и высота CH падает на продолжение стороны AB за точку B. — Высота может лежать вне треугольника, но формула S = ½ · AB · CH не меняется.

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: $S = \dfrac{1}{2}ah$ .

Почему так. Достроим треугольник $$ABC$$ до параллелограмма, приложив к стороне $$BC$$ равный ему треугольник (по трём сторонам). Площадь параллелограмма — основание $$AB$$ , умноженное на ту же высоту $$CH$$ . Наш треугольник — ровно половина, значит, $S = \dfrac{1}{2} AB \cdot CH$ .

Следствия

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Катеты перпендикулярны, и один из них служит высотой к другому.
Если высоты двух треугольников равны, их площади относятся как основания. Например, медиана делит треугольник на два треугольника равной площади: основания равны, высота общая.

Треугольники с равным углом

Если угол одного треугольника равен углу другого, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы:

\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}

Удобно представлять, что меньший треугольник «вложен» в больший общим углом. Если одну сторону угла уменьшить вдвое, площадь уменьшится вдвое; если ещё и другую втрое — в 6 раз.

Треугольник ABC, на стороне AB точка B1, на стороне AC точка C1. Треугольник AB1C1 закрашен, угол A у двух треугольников общий. — При общем угле A площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Через вписанную окружность

Соедините центр вписанной окружности с вершинами: треугольник распадётся на три треугольника, у каждого высота — радиус $$r$$ . Сложив их площади, получим: площадь треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности, $S = p \cdot r$ , где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ .

Как решать задачи

Определите, какая сторона — основание, а какой отрезок — высота именно к ней.
Не забудьте множитель $\dfrac{1}{2}$ .
Если надо найти высоту к другой стороне, сначала посчитайте площадь, затем $h = \dfrac{2S}{a}$ .
Ромб и четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями разбейте диагональю на два треугольника: $S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2$ .
Если у двух треугольников общий угол или общая высота, площади не считайте — составьте отношение.

Разобранные примеры

База

Площадь по основанию и высоте

Условие

Основание треугольника 13 см, высота к нему 8 см. Найдите площадь.

Дано

$$a = 13$$ см
$$h = 8$$ см

Найти

$$S$$

Решение

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot 8 = 52$ $\text{см}^2$ .

Ответ: 52 см²

Средний

Ромб по диагоналям

Условие

Диагонали ромба равны 10 см и 16 см. Найдите площадь ромба.

Дано

$$d_1 = 10$$ см
$$d_2 = 16$$ см

Найти

$$S$$

Решение

Диагонали ромба перпендикулярны. Диагональ $$d_2$$ делит ромб на два треугольника, их высоты к ней — половины $$d_1$$ .
$S = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot 5 = 80$ $\text{см}^2$ , то есть $\dfrac{1}{2}d_1 d_2$ .

Ответ: 80 см²

Сложный

Отношение площадей при общем угле

Условие

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 12$$ см, $$AC = 10$$ см, площадь равна 48 $\text{см}^2$ . На сторонах $$AB$$ и $$AC$$ отмечены точки $$K$$ и $$L$$ , $$AK = 9$$ см, $$AL = 4$$ см. Найдите площадь треугольника $$AKL$$ .

Дано

$$AB = 12$$ см
$$AC = 10$$ см
$S_{ABC} = 48$ $\text{см}^2$
$$AK = 9$$ см
$$AL = 4$$ см

Найти

$S_{AKL}$

Решение

Угол $$A$$ у треугольников общий, поэтому $\dfrac{S_{AKL}}{S_{ABC}} = \dfrac{9 \cdot 4}{12 \cdot 10} = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}$ .
$S_{AKL} = 48 \cdot \dfrac{3}{10} = 14{,}4$ $\text{см}^2$ .

Ответ: 14,4 см²

Типичные ошибки

Забывают разделить на 2

Почему неверно

Произведение основания на высоту — площадь параллелограмма, а треугольник — его половина.

Как правильно

Пишите формулу целиком, $S = \dfrac{1}{2}ah$ , и проверяйте: площадь треугольника меньше произведения основания на высоту ровно вдвое.

Берут боковую сторону вместо высоты

Почему неверно

Высота — перпендикуляр к основанию. Боковая сторона наклонена и длиннее высоты, если угол не прямой.

Как правильно

Множитель рядом с основанием — только перпендикуляр к нему. В прямоугольном треугольнике это катет, но не гипотенуза.

В отношении площадей берут не те стороны

Почему неверно

Теорема о равном угле работает для сторон, которые этот угол образуют. Третья сторона в отношение не входит.

Как правильно

Отметьте равный угол и выпишите две стороны, выходящие из его вершины, у каждого треугольника.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Основание треугольника равно 10 см, высота, проведённая к нему, — 7 см. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту.

Решение

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 = 35$ $\text{см}^2$ .

Ответ

35 см²

База Задача 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 9 см. Найдите его площадь.

Подсказка

Один катет — основание, другой — высота.

Решение

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ $\text{см}^2$ .

Ответ

27 см²

Средний Задача 3

Две стороны треугольника равны 12 см и 8 см. Высота, проведённая к стороне 12 см, равна 6 см. Найдите высоту, проведённую к стороне 8 см.

Подсказка

Сначала найдите площадь.

Решение

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36$ $\text{см}^2$ . Высота к стороне 8 см равна $\dfrac{2S}{8} = \dfrac{72}{8} = 9$ см.

Ответ

9 см

Средний Задача 4

Периметр треугольника равен 30 см, радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь треугольника.

Подсказка

Площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.

Решение

Полупериметр $$30 : 2 = 15$$ см, $S = 15 \cdot 2 = 30$ $\text{см}^2$ .

Ответ

30 см²

Сложный Задача 5

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 36 $\text{см}^2$ . На стороне $$AB$$ взята точка $$D$$ , на стороне $$AC$$ — точка $$E$$ так, что $AD = \dfrac{1}{3}AB$ и $AE = \dfrac{1}{2}AC$ . Найдите площадь треугольника $$ADE$$ .

Подсказка

У треугольников $$ADE$$ и $$ABC$$ общий угол $$A$$ .

Решение

По теореме об отношении площадей треугольников с равным углом $\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$ . Значит, $S_{ADE} = 36 : 6 = 6$ $\text{см}^2$ .

Ответ

6 см²

Сложный Задача 6

Точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ , $$BM : MC = 2 : 3$$ . Площадь треугольника $$ABC$$ равна 40 $\text{см}^2$ . Найдите площадь треугольника $$ABM$$ .

Подсказка

У треугольников $$ABM$$ и $$AMC$$ общая высота из вершины $$A$$ .

Решение

У треугольников $$ABM$$ и $$AMC$$ общая высота из $$A$$ , поэтому их площади относятся как основания, $$2 : 3$$ . Всего $$2 + 3 = 5$$ частей по $$40 : 5 = 8$$ $\text{см}^2$ , на $$ABM$$ приходится 2 части — 16 $\text{см}^2$ .

Ответ

16 см²

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе прямоугольник, проведите диагональ и разрежьте — две равные половинки. Потом нарисуйте произвольный треугольник, достройте до параллелограмма и покажите: треугольник — половина, отсюда множитель ½. Вопросы для проверки понимания: 1) Почему в формуле есть ½? 2) Как найти площадь прямоугольного треугольника по катетам? 3) Почему медиана делит площадь пополам? На что обратить внимание. Высота не обязана лежать внутри треугольника, а боковую сторону нельзя подставлять вместо высоты.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 58	564, 565, 566, 567, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 576, 577