Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VII, задание 609

Задача 1

Условие (кратко)

Меньшая сторона параллелограмма 29 см. Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к большей стороне делит её на отрезки 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$$AB = 29$$ см
$$O$$ — точка пересечения диагоналей
$OH \perp AD$
$$AH = 33$$ см
$$HD = 12$$ см

Найти

$$S$$

$$AD = 33 + 12 = 45$$ см.
$$O$$ — центр симметрии параллелограмма. Точка $$H'$$ , симметричная $$H$$ , лежит на $$BC$$ , прямая $$HH'$$ проходит через $$O$$ и перпендикулярна $$AD$$ и $$BC$$ , а $$BH' = DH = 12$$ см.
Проведём высоту $$BE$$ к $$AD$$ . Четырёхугольник $$BEHH'$$ — прямоугольник, поэтому $$EH = BH' = 12$$ см и $$AE = AH - EH = 33 - 12 = 21$$ см.
В прямоугольном $\triangle ABE$ по теореме Пифагора $BE = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20$ см.
$S = AD \cdot BE = 45 \cdot 20 = 900$ см².

Ответ

900 см²

Почему так

Симметрия относительно центра переносит отрезок 12 см на верхнюю сторону, и проекция боковой стороны находится вычитанием.

Подробнее — в теме «Площадь параллелограмма».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).