Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию. Боковая сторона в формулу не входит.
Подробное объяснение
Представьте пачку тетрадей: если сдвинуть её вбок, получится «косая» стопка. Боковые стороны наклонились, но тетрадей столько же и высота стопки та же. С параллелограммом так же: его площадь зависит не от наклона боковой стороны, а только от основания и высоты.
Основание и высота
Любую сторону параллелограмма можно назвать основанием. Высота — перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание. Так как противоположные стороны параллельны, все такие перпендикуляры равны: это расстояние между параллельными прямыми.
У параллелограмма две высоты — к каждой паре сторон своя. Высота короче боковой стороны: перпендикуляр короче наклонной. Равны они только у прямоугольника.
Теорема
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: \(S = a \cdot h\).
Почему так. Возьмём параллелограмм \(ABCD\) и проведём высоту \(BH\) к основанию \(AD\). Отрежем треугольник \(ABH\) и приложим его к другой стороне — на место треугольника \(DCK\). Эти прямоугольные треугольники равны: гипотенузы \(AB = CD\) (противоположные стороны), а острые углы при \(A\) и \(D\) равны как соответственные. Получился прямоугольник \(HBCK\) той же площади. Его стороны — \(BC = AD = a\) и \(BH = h\), значит, \(S = a \cdot h\).
Если угол \(A\) тупой или основание высоты попадает на продолжение \(AD\), рассуждение похожее, а формула та же.
Две высоты — одна площадь
Площадь можно посчитать через любую сторону: \(S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\). Отсюда удобное правило: к большей стороне проведена меньшая высота. Зная площадь, найдёте любую высоту: \(h = S : a\).
Высота через угол \(30^\circ\)
Часто в задаче дан не сам перпендикуляр, а боковая сторона и угол. Пока тригонометрии нет, выручает свойство из 7 класса: катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Высота \(BH\) и боковая сторона \(AB\) образуют прямоугольный треугольник \(ABH\). Если \(\angle A = 30^\circ\), то \(BH = AB : 2\). Если угол параллелограмма \(150^\circ\), то соседний — \(30^\circ\). А при угле \(45^\circ\) треугольник \(ABH\) равнобедренный: \(BH = AH\).
Как решать задачи
- Нарисуйте параллелограмм и отметьте, к какой стороне проведена высота.
- Если высота неизвестна, ищите её в прямоугольном треугольнике: угол \(30^\circ\) — катет равен половине гипотенузы, угол \(45^\circ\) — катеты равны.
- Умножайте высоту только на ту сторону, к которой она проведена.
- Если дана площадь и надо найти высоту или сторону — делите площадь на известную величину.
- Проверьте единицы: стороны в одних единицах, ответ в квадратных.
Разобранные примеры
Площадь по стороне и высоте
Сторона параллелограмма равна 11 см, высота, проведённая к ней, — 6 см. Найдите площадь.
- \(a = 11\) см
- \(h = 6\) см
- \(S\)
\(S = a \cdot h = 11 \cdot 6 = 66\) \(\text{см}^2\).
Площадь по двум сторонам и углу
Стороны параллелограмма \(ABCD\) равны \(AB = 9\) см и \(AD = 16\) см, \(\angle A = 30^\circ\). Найдите площадь.
- \(AB = 9\) см
- \(AD = 16\) см
- \(\angle A = 30^\circ\)
- \(S\)
- Проведём высоту \(BH\) к стороне \(AD\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) катет \(BH\) лежит против угла \(30^\circ\).
- \(BH = AB : 2 = 4{,}5\) см.
- \(S = AD \cdot BH = 16 \cdot 4{,}5 = 72\) \(\text{см}^2\).
Вторая высота
Стороны параллелограмма 15 см и 9 см, меньшая высота равна 6 см. Найдите большую высоту.
- \(a = 15\) см
- \(b = 9\) см
- меньшая высота 6 см
- большую высоту
- Меньшая высота проведена к большей стороне: \(S = 15 \cdot 6 = 90\) \(\text{см}^2\).
- Большая высота проведена к меньшей стороне: \(h = 90 : 9 = 10\) см.
Типичные ошибки
Произведение сторон даёт площадь только прямоугольника. У «наклонённого» параллелограмма высота меньше боковой стороны, и площадь меньше.
Умножайте основание на высоту — перпендикуляр к основанию. Если высоты нет, найдите её из прямоугольного треугольника.
У параллелограмма две разные высоты. Если высоту к стороне \(b\) умножить на сторону \(a\), получится неверное число.
Пишите пару явно: \(S = a \cdot h_a\). Подсказка для проверки — к большей стороне проведена меньшая высота.
Половине гипотенузы равен катет против угла \(30^\circ\). Гипотенуза — боковая сторона, а не основание. Половина основания к высоте отношения не имеет.
Найдите прямоугольный треугольник, в котором высота — катет. Его гипотенуза — сторона, выходящая из вершины угла \(30^\circ\) к началу высоты; высота равна её половине.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Основание параллелограмма 7 см, высота к нему 5 см. Чему равна площадь в квадратных сантиметрах?
Показать ответ
Ответ: 35
\(S = ah = 7 \cdot 5 = 35\) \(\text{см}^2\).
-
Стороны параллелограмма 6 см и 10 см. Чему может быть равна его площадь?
Показать ответ
Ответ: В) 60 см² или меньше, в зависимости от угла
Высота не больше боковой стороны, поэтому \(S = 10 \cdot h \le 10 \cdot 6 = 60\) \(\text{см}^2\); ровно 60 — только у прямоугольника.
-
Что верно для высот параллелограмма?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Высоту можно провести из любой точки стороны, противоположной основанию; Б) К большей стороне проведена меньшая высота; Г) Высота может падать на продолжение основания
Расстояние между параллельными сторонами одинаково из любой точки; произведение стороны на высоту к ней — одна и та же площадь, поэтому к большей стороне идёт меньшая высота; у тупого угла основание высоты может оказаться на продолжении стороны.
-
Сторона ромба 8 см, острый угол \(30^\circ\). Найдите площадь ромба в квадратных сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 32
Высота — катет против угла \(30^\circ\), она равна \(8 : 2 = 4\) см; \(S = 8 \cdot 4 = 32\) \(\text{см}^2\).
-
Площадь параллелограмма 40 \(\text{см}^2\), стороны 8 см и 10 см. Чему равна высота, проведённая к стороне 10 см?
Показать ответ
Ответ: Б) 4 см
Высота к стороне 10 см равна \(40 : 10 = 4\) см. Делить надо именно на ту сторону, к которой проведена высота.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Основание параллелограмма равно 9 см, высота, проведённая к нему, — 4 см. Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка
Площадь равна основанию, умноженному на высоту к этому основанию.
Решение
\(S = ah = 9 \cdot 4 = 36\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Площадь параллелограмма равна 48 \(\text{см}^2\), одна из его сторон — 12 см. Найдите высоту, проведённую к этой стороне.
Подсказка
Из \(S = ah\) выразите \(h\).
Решение
\(h = \dfrac{S}{a} = \dfrac{48}{12} = 4\) см.
Ответ
Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, острый угол равен \(30^\circ\). Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка
Высота к стороне 10 см — катет, лежащий против угла \(30^\circ\), гипотенуза — сторона 6 см.
Решение
Высота, опущенная из конца стороны 6 см на сторону 10 см, лежит против угла \(30^\circ\) и равна \(6 : 2 = 3\) см. \(S = 10 \cdot 3 = 30\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей стороне.
Подсказка
Найдите площадь, а потом разделите её на другую сторону.
Решение
\(S = 12 \cdot 4 = 48\) \(\text{см}^2\). Высота к стороне 8 см равна \(48 : 8 = 6\) см.
Ответ
Периметр ромба равен 40 см, один из его углов равен \(150^\circ\). Найдите площадь ромба.
Подсказка
Найдите сторону и острый угол ромба.
Решение
Сторона ромба \(40 : 4 = 10\) см. Острый угол \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Высота ромба — катет против угла \(30^\circ\) с гипотенузой 10 см, она равна 5 см. \(S = 10 \cdot 5 = 50\) \(\text{см}^2\).
Ответ
У прямоугольника и параллелограмма, не являющегося прямоугольником, стороны соответственно равны (5 см и 7 см). У какой фигуры площадь больше? Объясните.
Подсказка
Сравните высоту параллелограмма с его боковой стороной.
Решение
Площадь прямоугольника \(5 \cdot 7 = 35\) \(\text{см}^2\). У параллелограмма \(S = 7 \cdot h\), где \(h\) — перпендикуляр из вершины на сторону 7 см, а сторона 5 см — наклонная из той же точки. Угол не прямой, поэтому перпендикуляр короче наклонной, \(h < 5\) см и \(S < 35\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги параллелограмм, проведите высоту из верхней вершины и отрежьте по ней треугольник. Приложите его с другой стороны — получится прямоугольник. Его стороны — основание и высота, значит, площадь — их произведение. Вопросы для проверки понимания: 1) Почему нельзя просто перемножить две стороны? 2) У параллелограмма стороны 4 см и 9 см. К какой стороне проведена большая высота? 3) Острый угол \(30^\circ\), боковая сторона 8 см — чему равна высота? На что обратить внимание. Ребёнок должен каждый раз называть, к какой стороне проведена высота, и не путать её с боковой стороной.