Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VII, задание 610

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AC = b$$ , $$AB = a$$ . Доказать: $S_{ABC}$ наибольшая, когда $AB \perp AC$ .

Проведём высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$ . Тогда $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \dfrac{1}{2} b \cdot BH$ .
Если $AB \perp AC$ , то высота совпадает со стороной: $$BH = AB = a$$ , и $S = \dfrac{1}{2}ab$ .
Если угол $$A$$ не прямой, то $$BH$$ — перпендикуляр, а $$BA$$ — наклонная из той же точки к прямой $$AC$$ . Перпендикуляр короче наклонной: $$BH < a$$ , поэтому $S < \dfrac{1}{2}ab$ .
Значит, наибольшая площадь $\dfrac{1}{2}ab$ — только у треугольника, в котором стороны $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны.

Ответ

Утверждение доказано: наибольшая площадь ab/2 — при прямом угле между сторонами

Почему так

Площадь равна половине основания на высоту, а высота не больше боковой стороны, потому что перпендикуляр короче наклонной.

Подробнее — в теме «Площадь треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).