Задача 1
Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?
Решение
Пусть \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a\), прямые проводим через вершину \(A\).
-
На стороне \(BC\) отметим точку \(M\) так, что \(BM = \dfrac{2}{3}BC\), на стороне \(DC\) — точку \(N\) так, что \(DN = \dfrac{2}{3}DC\). Проведём прямые \(AM\) и \(AN\).
-
\(\triangle ABM\) прямоугольный: \(S_{ABM} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{2a}{3} = \dfrac{a^2}{3}\).
-
Так же \(S_{ADN} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{2a}{3} = \dfrac{a^2}{3}\).
-
Оставшийся четырёхугольник \(AMCN\) имеет площадь \(a^2 - \dfrac{a^2}{3} - \dfrac{a^2}{3} = \dfrac{a^2}{3}\).
Все три части равновелики.
Ответ
Каждый из двух прямоугольных треугольников должен занять треть квадрата, отсюда катет 2/3 стороны.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».