Задача 1
(Повышенной трудности.) Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго?
Решение
Нет, не следует. Приведём пример.
-
Первый треугольник — равнобедренный со сторонами 13, 13, 24. Высота к основанию делит его пополам, по теореме Пифагора она равна \(\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5\). Площадь \(S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60\).
-
Второй треугольник — равносторонний со стороной 12. Его высота \(\sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\), площадь \(S_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\).
-
Каждая сторона первого (13, 13, 24) больше любой стороны второго (12). Но \(S_1^2 = 3600\), а \(S_2^2 = 1296 \cdot 3 = 3888\), то есть \(S_2 > S_1\).
Первый треугольник «длинный и плоский», поэтому его площадь меньше.
Ответ
Площадь зависит не только от сторон, но и от высоты, а у вытянутого треугольника высота мала.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».