Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VII, задание 613

Задача 1

Условие (кратко)

(Повышенной трудности.) Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ , точка $$M$$ на основании $$AC$$ , $MK \perp AB$ , $ML \perp BC$ . Доказать: $$MK + ML$$ не зависит от положения $$M$$ .

Отрезок $$BM$$ делит $\triangle ABC$ на два треугольника, поэтому $S_{ABC} = S_{ABM} + S_{CBM}$ .
В $\triangle ABM$ высота к стороне $$AB$$ равна $$MK$$ , в $\triangle CBM$ высота к стороне $$BC$$ равна $$ML$$ : $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot MK + \dfrac{1}{2}BC \cdot ML = \dfrac{1}{2}AB\,(MK + ML)$ , так как $$AB = BC$$ .
Отсюда $MK + ML = \dfrac{2S_{ABC}}{AB}$ . Правая часть зависит только от треугольника, а не от точки $$M$$ (это высота, проведённая к боковой стороне).

Ответ

Утверждение доказано: сумма расстояний равна высоте, проведённой к боковой стороне

Почему так

Метод вспомогательной площади — площадь треугольника складывается из площадей двух частей с высотами MK и ML.

Подробнее — в теме «Площадь треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).