Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VII, задание 614

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC = CA = a$$ , точка $$M$$ внутри, $$d_1$$ , $$d_2$$ , $$d_3$$ — расстояния от $$M$$ до $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ . Доказать: $$d_1 + d_2 + d_3$$ не зависит от $$M$$ .

Отрезки $$MA$$ , $$MB$$ , $$MC$$ делят треугольник на три треугольника: $S_{ABC} = S_{MBC} + S_{MCA} + S_{MAB}$ .
Высоты этих треугольников, проведённые к сторонам $$ABC$$ , — это $$d_1$$ , $$d_2$$ , $$d_3$$ : $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a d_1 + \dfrac{1}{2}a d_2 + \dfrac{1}{2}a d_3 = \dfrac{1}{2}a(d_1 + d_2 + d_3)$ .
Значит, $d_1 + d_2 + d_3 = \dfrac{2S_{ABC}}{a}$ — это высота треугольника, она от $$M$$ не зависит.

Ответ

Утверждение доказано: сумма расстояний равна высоте треугольника

Почему так

Треугольник разбивается на три части с общей стороной a, и сумма их площадей постоянна.

Подробнее — в теме «Площадь треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).