Задача 1
(Повышенной трудности.) Через точку D на стороне BC треугольника ABC проведены прямые, параллельные AB и AC, они пересекают AB и AC в точках E и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(D \in BC\), \(DE \parallel AC\), \(E \in AB\), \(DF \parallel AB\), \(F \in AC\). Доказать: \(S_{CDE} = S_{BDF}\).
-
\(AEDF\) — параллелограмм (противоположные стороны параллельны). Диагональ \(EF\) делит его на два равных треугольника, поэтому \(S_{EDF} = \dfrac{1}{2}S_{AEDF}\).
-
Треугольники \(CDE\) и \(FDE\) имеют общую сторону \(DE\). Точки \(C\) и \(F\) лежат на прямой \(AC\), параллельной \(DE\), поэтому они удалены от \(DE\) на одно и то же расстояние. Значит, высоты к \(DE\) равны и \(S_{CDE} = S_{FDE}\).
-
Аналогично треугольники \(BDF\) и \(EDF\) имеют общую сторону \(DF\), а точки \(B\) и \(E\) лежат на прямой \(AB \parallel DF\). Поэтому \(S_{BDF} = S_{EDF}\).
-
Итак, \(S_{CDE} = S_{BDF} = \dfrac{1}{2}S_{AEDF}\).
Ответ
Треугольники с общим основанием и вершинами на прямой, параллельной основанию, равновелики.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».