В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке O. Сравните площади треугольников ABD и ACD.
Решение
Дано
\(ABCD\) — трапеция
\(AD \parallel BC\)
\(O\) — точка пересечения диагоналей
Найти
сравнить \(S_{ABD}\) и \(S_{ACD}\)
У треугольников \(ABD\) и \(ACD\) общее основание \(AD\). Вершины \(B\) и \(C\) лежат на прямой \(BC \parallel AD\), поэтому высоты, проведённые к \(AD\), равны высоте трапеции. Значит, \(S_{ABD} = \dfrac{1}{2}AD \cdot h = S_{ACD}\).
Ответ
Площади равны
Почему так
Общее основание и равные высоты — значит, равные площади.
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке O. Сравните площади треугольников ABO и CDO.
Решение
Дано
\(ABCD\) — трапеция
\(AD \parallel BC\)
\(O\) — точка пересечения диагоналей
Найти
сравнить \(S_{ABO}\) и \(S_{CDO}\)
\(S_{ABO} = S_{ABD} - S_{AOD}\), \(S_{CDO} = S_{ACD} - S_{AOD}\). В пункте а) доказано, что \(S_{ABD} = S_{ACD}\). Вычитая одну и ту же площадь \(S_{AOD}\), получаем \(S_{ABO} = S_{CDO}\).
Ответ
Площади равны
Почему так
Из равных треугольников ABD и ACD вычитается общая часть AOD.
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что OA · OB = OC · OD.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция с боковыми сторонами \(AB\) и \(CD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Доказать: \(OA \cdot OB = OC \cdot OD\).
Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, поэтому равны.
Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы (вторая теорема п. 58): \(\dfrac{S_{AOB}}{S_{COD}} = \dfrac{OA \cdot OB}{OC \cdot OD}\).
По пункту б) \(S_{AOB} = S_{COD}\), то есть отношение площадей равно 1. Значит, \(OA \cdot OB = OC \cdot OD\).
Ответ
Утверждение доказано: OA · OB = OC · OD
Почему так
Треугольники AOB и COD равновелики и имеют равные вертикальные углы, поэтому произведения сторон при этих углах равны.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).