Задача 1
(Повышенной трудности.) Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах, параллельный основаниям, делит трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AD = a\)
- \(BC = b\) (\(a > b\))
- \(MN \parallel AD\)
- \(M \in AB\)
- \(N \in CD\)
- \(S_{MBCN} = S_{AMND}\)
- \(x = MN\)
-
Пусть \(h_1\) — расстояние между \(BC\) и \(MN\), \(h_2\) — между \(MN\) и \(AD\). Условие равновеликости: \(\dfrac{(b + x)h_1}{2} = \dfrac{(x + a)h_2}{2}\), то есть \((x + b)h_1 = (a + x)h_2\).
-
Найдём связь между \(h_1\) и \(h_2\). Проведём через \(C\) прямую, параллельную \(AB\); она пересекает \(MN\) в точке \(P\), а \(AD\) — в точке \(Q\). Четырёхугольники \(MBCP\) и \(ABCQ\) — параллелограммы, поэтому \(MP = AQ = b\), \(PN = x - b\), \(QD = a - b\).
-
Треугольник \(CQD\) состоит из треугольника \(CPN\) и трапеции \(PNDQ\): \(\dfrac{(a - b)(h_1 + h_2)}{2} = \dfrac{(x - b)h_1}{2} + \dfrac{(x - b + a - b)h_2}{2}\). После раскрытия скобок и сокращения одинаковых слагаемых \((a-b)h_2\) получаем \((a - b)h_1 = (x - b)(h_1 + h_2)\).
-
Обозначим \(H = h_1 + h_2\). Тогда \(h_1 = \dfrac{(x - b)H}{a - b}\), \(h_2 = H - h_1 = \dfrac{(a - x)H}{a - b}\).
-
Подставим в условие из шага 1 и сократим на \(\dfrac{H}{a-b}\), получим \((x + b)(x - b) = (a + x)(a - x)\), то есть \(x^2 - b^2 = a^2 - x^2\).
-
\(2x^2 = a^2 + b^2\), \(x = \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}\).
Ответ
Высоты частей связаны через площадь треугольника, отсечённого прямой, параллельной боковой стороне, а равенство площадей даёт уравнение на x.
Подробнее — в теме «Площадь трапеции».