Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Площадь трапеции равна полусумме её оснований, умноженной на высоту. Боковые стороны в формулу не входят.
Подробное объяснение
Откос дамбы или кусок ленты, срезанный наискосок с обеих сторон, — это трапеции. Как найти их площадь? Общий приём для любого многоугольника: разрезать его на треугольники, найти площадь каждого и сложить.
Основания и высота трапеции
У трапеции две параллельные стороны — основания, обозначим их \(a\) и \(b\). Две другие — боковые стороны. Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание. Все такие перпендикуляры равны — это расстояние между параллельными прямыми.
Теорема
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \(S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h\).
Почему так. Проведём в трапеции \(ABCD\) диагональ \(BD\). Она делит трапецию на треугольники \(ABD\) и \(BCD\). У первого основание \(AD = a\), у второго — \(BC = b\), а высоты к этим основаниям одинаковые — это высота трапеции \(h\). Сложим площади:
Проверка здравым смыслом: если основания равны, \(a = b\), трапеция превращается в параллелограмм, и формула даёт \(a \cdot h\) — как и должно быть.
Как найти высоту
Высоту в задачах часто приходится искать. Опустите высоту из конца меньшего основания — получится прямоугольный треугольник с боковой стороной в роли гипотенузы.
- Угол при основании \(45^\circ\) — треугольник равнобедренный, высота равна отрезку, который она отсекает на основании.
- Угол \(30^\circ\) — высота равна половине боковой стороны.
- В прямоугольной трапеции высота — это боковая сторона, перпендикулярная основаниям.
- В равнобедренной трапеции высоты из концов меньшего основания отсекают от большего два равных отрезка, каждый \(\dfrac{a - b}{2}\).
Как решать задачи
- Выясните, какие стороны — основания (они параллельны).
- Найдите высоту: дана сразу, боковая сторона перпендикулярна основаниям или нужен прямоугольный треугольник с углом \(30^\circ\) или \(45^\circ\).
- Если неизвестно основание, достройте высоты и сложите отрезки большего основания.
- Подставьте в \(S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h\) и проверьте единицы.
Разобранные примеры
Площадь по основаниям и высоте
Основания трапеции 9 см и 15 см, высота 8 см. Найдите площадь.
- \(a = 15\) см
- \(b = 9\) см
- \(h = 8\) см
- \(S\)
\(S = \dfrac{15 + 9}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96\) \(\text{см}^2\).
Равнобедренная трапеция с углом 45°
В равнобедренной трапеции острый угол \(45^\circ\), меньшее основание 5 см, высота 3 см. Найдите площадь.
- \(b = 5\) см
- \(h = 3\) см
- острый угол \(45^\circ\)
- \(S\)
- Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания два прямоугольных равнобедренных треугольника (острые углы по \(45^\circ\)). Их катеты на основании равны высоте, по 3 см.
- Большее основание \(a = 3 + 5 + 3 = 11\) см.
- \(S = \dfrac{11 + 5}{2} \cdot 3 = 24\) \(\text{см}^2\).
Основания по площади
Площадь трапеции 84 \(\text{см}^2\), высота 7 см, одно основание на 4 см больше другого. Найдите основания.
- \(S = 84\) \(\text{см}^2\)
- \(h = 7\) см
- \(a = b + 4\)
- \(a\)
- \(b\)
- Полусумма оснований \(84 : 7 = 12\) см, сумма — 24 см.
- \(b + (b + 4) = 24\), \(b = 10\) см, \(a = 14\) см.
Типичные ошибки
Боковая сторона наклонена и длиннее высоты. Подставив её, получите завышенную площадь.
Высота — перпендикуляр между основаниями. Если её нет в условии, найдите её из прямоугольного треугольника.
Сумма оснований, умноженная на высоту, — это две такие трапеции, сложенные в параллелограмм.
Сначала найдите полусумму \(\dfrac{a + b}{2}\), потом умножайте на высоту.
В задаче трапеция может быть названа \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), а не \(AD\) и \(BC\). Если сложить не те стороны, ответ будет неверен.
Перечитайте, какие стороны параллельны, и отметьте их на рисунке до начала решения.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Основания трапеции 6 см и 10 см, высота 4 см. Найдите площадь в квадратных сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 32
\(S = \dfrac{6 + 10}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\) \(\text{см}^2\).
-
Что называют высотой трапеции?
Показать ответ
Ответ: Б) Перпендикуляр из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание
Высота — расстояние между параллельными основаниями, перпендикуляр между их прямыми.
-
Как можно вывести формулу площади трапеции?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Разрезать трапецию диагональю на два треугольника с общей высотой; В) Разрезать высотами на прямоугольник и треугольники
Трапецию можно разбить на части, площади которых уже умеем находить, — треугольники или прямоугольник с треугольниками. Боковые стороны в формулу не входят.
-
Площадь трапеции 48 \(\text{см}^2\), высота 6 см. Чему равна сумма оснований в сантиметрах?
Показать ответ
Ответ: 16
Полусумма оснований \(48 : 6 = 8\) см, значит, сумма \(16\) см.
-
Основания трапеции 3 см и 9 см, боковая сторона 5 см образует с большим основанием угол \(30^\circ\). Чему равна площадь?
Показать ответ
Ответ: Б) 15 см²
Высота — катет против угла \(30^\circ\), \(5 : 2 = 2{,}5\) см. \(S = \dfrac{3 + 9}{2} \cdot 2{,}5 = 15\) \(\text{см}^2\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Основания трапеции равны 7 см и 11 см, высота — 5 см. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Полусумма оснований, умноженная на высоту.
Решение
\(S = \dfrac{7 + 11}{2} \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Площадь трапеции 60 \(\text{см}^2\), её основания 8 см и 12 см. Найдите высоту.
Подсказка
Разделите площадь на полусумму оснований.
Решение
Полусумма оснований \(\dfrac{8 + 12}{2} = 10\) см, \(h = 60 : 10 = 6\) см.
Ответ
Основания равнобедренной трапеции равны 4 см и 10 см, острый угол равен \(45^\circ\). Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего два равных отрезка.
Решение
Высоты из концов меньшего основания отсекают от большего основания отрезки по \(\dfrac{10 - 4}{2} = 3\) см. Прямоугольный треугольник с углом \(45^\circ\) равнобедренный, поэтому высота тоже 3 см. \(S = \dfrac{4 + 10}{2} \cdot 3 = 21\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Основания трапеции равны 5 см и 13 см, одна из боковых сторон равна 8 см и образует с большим основанием угол \(30^\circ\). Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Высота из конца этой боковой стороны — катет против угла \(30^\circ\).
Решение
Высота лежит против угла \(30^\circ\) в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 8 см, поэтому она равна 4 см. \(S = \dfrac{5 + 13}{2} \cdot 4 = 36\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Площадь трапеции равна 90 \(\text{см}^2\), высота — 6 см, одно основание вдвое больше другого. Найдите основания.
Подсказка
Обозначьте меньшее основание через \(x\).
Решение
Пусть основания \(x\) и \(2x\). Тогда \(\dfrac{x + 2x}{2} \cdot 6 = 90\), \(9x = 90\), \(x = 10\). Основания 10 см и 20 см.
Ответ
Диагонали трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что треугольники \(ABO\) и \(DCO\) имеют равные площади.
Подсказка
Сравните сначала треугольники \(ABD\) и \(ACD\).
Решение
Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общее основание \(AD\), а их вершины \(B\) и \(C\) лежат на прямой \(BC \parallel AD\), поэтому высоты равны и \(S_{ABD} = S_{ACD}\). Вычтем из обеих площадей площадь общего треугольника \(AOD\) — получим \(S_{ABO} = S_{DCO}\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги две одинаковые трапеции, переверните одну и приложите к другой боковой стороной — получится параллелограмм с основанием \(a + b\) и той же высотой. Его площадь \((a + b) \cdot h\), а трапеция — половина. Вопросы для проверки понимания: 1) Что будет с формулой, если основания равны? 2) Почему боковая сторона не входит в формулу? 3) Как найти высоту, если угол при основании \(45^\circ\)? На что обратить внимание. Ребёнок должен уметь найти высоту, а не подставлять боковую сторону.