Задача 1
Площадь ромба 540 см², одна из диагоналей 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.
Решение
- \(ABCD\) — ромб
- \(S = 540\) см²
- \(AC = 4{,}5\) дм \(= 45\) см
- \(O\) — точка пересечения диагоналей
- расстояние \(OK\) от \(O\) до \(AB\)
-
Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, поэтому \(S = \dfrac{AC \cdot BD}{2}\), откуда \(BD = \dfrac{2 \cdot 540}{45} = 24\) см.
-
\(AO = 22{,}5\) см, \(BO = 12\) см. По теореме Пифагора \(AB = \sqrt{22{,}5^2 + 12^2} = \sqrt{506{,}25 + 144} = \sqrt{650{,}25} = 25{,}5\) см.
-
\(OK\) — высота прямоугольного \(\triangle AOB\), проведённая к гипотенузе. Площадь этого треугольника считаем двумя способами: \(\dfrac{1}{2}AO \cdot BO = \dfrac{1}{2}AB \cdot OK\).
-
\(OK = \dfrac{22{,}5 \cdot 12}{25{,}5} = \dfrac{270}{25{,}5} = \dfrac{180}{17} = 10\dfrac{10}{17}\) см.
Ответ
Искомое расстояние — высота прямоугольного треугольника из половинок диагоналей, её находят через площадь.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».