Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Зная две стороны прямоугольного треугольника, по этой формуле всегда можно найти третью.
Подробное объяснение
Представьте, что нужно пройти из одного угла прямоугольного двора в противоположный. Вдоль забора — 30 м и ещё 40 м. А если наискосок? Рулетка не нужна: ответ даёт теорема Пифагора, и это ровно 50 м.
Что говорит теорема
В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами (\(a\) и \(b\)), а сторона против прямого угла — гипотенузой (\(c\)). Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,
Слово «квадрат» здесь можно понимать буквально. Постройте на каждой стороне квадрат: площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей двух других квадратов.
Из формулы сразу получаются ещё две:
- гипотенуза \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\);
- катет \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\).
Отсюда видно, что гипотенуза длиннее каждого катета.
Почему это верно
Возьмём четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\) и сложим из них большой квадрат со стороной \(a + b\) так, чтобы в середине осталась квадратная «дырка» со стороной \(c\). Площадь большого квадрата можно посчитать двумя способами:
- как квадрат стороны: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
- как сумму частей: четыре треугольника по \(\dfrac{1}{2}ab\) и квадрат \(c^2\), то есть \(2ab + c^2\).
Приравниваем: \(a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\), откуда \(c^2 = a^2 + b^2\).
Немного истории
Теорему называют именем древнегреческого учёного Пифагора (VI в. до н. э.), но соотношение знали задолго до него — его находят в вавилонских текстах. Пифагору, по-видимому, принадлежит одно из первых доказательств. Сейчас известно больше ста разных доказательств.
Где пригодится
Теорема Пифагора нужна почти в каждой задаче, где есть прямой угол: найти диагональ прямоугольника или квадрата (\(d = a\sqrt{2}\)), высоту равнобедренного или равностороннего треугольника, сторону ромба по диагоналям, высоту трапеции. Высота, проведённая к стороне, отсекает прямоугольный треугольник — и теорема готова к работе.
Как решать задачи
- Найдите на чертеже прямоугольный треугольник. Если его нет — создайте: проведите высоту или диагональ.
- Определите, какая сторона — гипотенуза: она лежит против прямого угла.
- Ищете гипотенузу — складывайте квадраты катетов. Ищете катет — вычитайте из квадрата гипотенузы квадрат другого катета.
- Извлеките корень. Если он не извлекается нацело, упростите: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\).
- Если стороны выражены через неизвестную (\(c = 2b\), \(a = x - 7\)), подставьте их в \(c^2 = a^2 + b^2\) и решите уравнение.
- Проверьте: гипотенуза должна получиться больше каждого катета.
Разобранные примеры
Гипотенуза по двум катетам
Катеты прямоугольного треугольника равны 20 см и 21 см. Найдите гипотенузу.
- \(a = 20\) см
- \(b = 21\) см
- \(c\)
\(c^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\), \(c = \sqrt{841} = 29\) см.
Лестница у стены
Лестница длиной 6,5 м приставлена к стене, её нижний конец стоит в 2,5 м от стены. На какой высоте лестница касается стены?
- лестница (гипотенуза) \(c = 6{,}5\) м
- расстояние до стены (катет) \(a = 2{,}5\) м
- высоту \(h\) (второй катет)
Стена перпендикулярна полу, поэтому получился прямоугольный треугольник.
\(h^2 = c^2 - a^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36\), \(h = 6\) м.
Стороны прямоугольника по диагонали и периметру
Периметр прямоугольника равен 28 см, диагональ — 10 см. Найдите стороны прямоугольника.
- \(P = 28\) см
- \(d = 10\) см
- стороны \(a\) и \(b\)
- \(a + b = 28 : 2 = 14\) см.
- Диагональ — гипотенуза треугольника со сторонами \(a\) и \(b\), поэтому \(a^2 + b^2 = 100\).
- Возведём первое равенство в квадрат: \(a^2 + 2ab + b^2 = 196\). Вычтем второе: \(2ab = 96\), \(ab = 48\).
- Нужны два числа с суммой 14 и произведением 48 — это 6 и 8. Проверка: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
Типичные ошибки
Пишут \(c = a + b\): при катетах 3 и 4 получают гипотенузу 7. Но гипотенуза всегда меньше суммы катетов — это неравенство треугольника. Так же неверно \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\): корень из суммы не равен сумме корней.
Сначала возводим в квадрат и складываем, потом извлекаем корень: \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).
Известны гипотенуза 13 и катет 5, а ученик пишет \(b^2 = 13^2 + 5^2 = 194\). Катет получился длиннее гипотенузы — так не бывает.
Сначала определите, где гипотенуза (против прямого угла). Катет находится вычитанием: \(b^2 = 13^2 - 5^2 = 144\), \(b = 12\).
Для треугольника со сторонами 5, 6, 7 пишут \(7^2 = 5^2 + 6^2\). Но \(49 \ne 61\): теорема Пифагора верна только тогда, когда угол прямой.
Ищите прямой угол. Если его нет, проведите высоту: она разобьёт треугольник на два прямоугольных, и теорему применяют к каждому из них.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
В прямоугольном треугольнике \(a\) и \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза. Какое равенство верно?
Показать ответ
Ответ: Б) \(c^2 = a^2 + b^2\)
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, \(c^2 = a^2 + b^2\).
-
Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Чему равна гипотенуза?
Показать ответ
Ответ: 13
\(c^2 = 25 + 144 = 169\), \(c = 13\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Гипотенуза длиннее каждого из катетов; В) Квадрат катета равен квадрату гипотенузы минус квадрат другого катета
Теорема верна только для прямоугольного треугольника; из \(c^2 = a^2 + b^2\) следует \(b^2 = c^2 - a^2\) и \(c > a\), \(c > b\). Сумма катетов всегда больше гипотенузы.
-
Чему равна диагональ квадрата со стороной \(a\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(a\sqrt{2}\)
\(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), поэтому \(d = a\sqrt{2}\).
-
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17, один катет равен 8. Найдите другой катет.
Показать ответ
Ответ: 15
\(b^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\), \(b = 15\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу.
Подсказка
Сложите квадраты катетов и извлеките корень.
Решение
\(c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\), \(c = 15\) см.
Ответ
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, один из катетов — 7 см. Найдите другой катет.
Подсказка
Из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета.
Решение
\(b^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576\), \(b = 24\) см.
Ответ
Лестницу длиной 5 м приставили к стене так, что её нижний конец находится в 1,4 м от стены. На какой высоте верхний конец касается стены?
Подсказка
Стена, пол и лестница образуют прямоугольный треугольник. Что в нём гипотенуза?
Решение
Лестница — гипотенуза, расстояние до стены и искомая высота — катеты. \(h^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04\), \(h = 4{,}8\) м.
Ответ
Диагональ квадрата равна 6 см. Найдите сторону квадрата.
Подсказка
Диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
Решение
Пусть сторона \(a\). Диагональ — гипотенуза треугольника с катетами \(a\) и \(a\), поэтому \(a^2 + a^2 = 36\), \(a^2 = 18\), \(a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) см.
Ответ
В прямоугольном треугольнике один катет равен 21 см, а другой на 7 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
Подсказка
Обозначьте гипотенузу через \(x\), тогда второй катет \(x - 7\).
Решение
По теореме Пифагора \(x^2 = 21^2 + (x - 7)^2 = 441 + x^2 - 14x + 49\). Квадраты \(x^2\) сокращаются, \(14x = 490\), \(x = 35\) см. Проверка — \(35^2 = 1225 = 441 + 784 = 21^2 + 28^2\).
Ответ
Основания равнобедренной трапеции равны 7 см и 17 см, боковая сторона — 13 см. Найдите площадь трапеции.
Подсказка
Опустите высоты из концов меньшего основания и найдите отрезки, которые они отсекают на большем основании.
Решение
Высоты отсекают на большем основании два равных отрезка по \(\dfrac{17 - 7}{2} = 5\) см. Высота \(h^2 = 13^2 - 5^2 = 144\), \(h = 12\) см. Площадь \(S = \dfrac{7 + 17}{2} \cdot 12 = 144\) см².
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 клетки. Попросите ребёнка измерить гипотенузу линейкой — выйдет ровно 5 клеток. Затем на каждой стороне нарисуйте квадрат и посчитайте клетки: 9 + 16 = 25. Это и есть теорема Пифагора. Бытовой пример — диагональ экрана телевизора: по ширине и высоте экрана её находят этой же формулой.
Вопросы для проверки понимания: 1) Какая сторона прямоугольного треугольника самая длинная и почему? 2) Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет? 3) Можно ли применить теорему Пифагора к треугольнику со сторонами 5, 6, 7?
На что обратить внимание. Главная ошибка — перепутать, где гипотенуза, и сложить квадраты там, где их нужно вычитать. Приучите ребёнка сначала отмечать прямой угол и гипотенузу на чертеже. Второе — упрощение корней: ответ \(\sqrt{32}\) стоит записать как \(4\sqrt{2}\).